Sabit sırt uzaklıklı kinematik tubular yüzey

Abstract

Bu çalışmada E^3 uzayında alınan bir tubular yüzeye kuaterniyonlarla ifade edilen katı cisim hareketi uygulanmaktadır. Tubular yüzeyin sabit sırt uzaklıklı kinematik yüzeyi elde edilmektedir. Elde edilen kinematik yüzeyin genel durumda bir tubular yüzey olmadığı gösterilmektedir. Kinematik hareketin dönme ekseni, dönme açısı ve öteleme vektörünün özel seçimleriyle kinematik yüzeyin özel durumları elde edilmektedir. Bu özel durumlarda kinematik yüzeyin tubular yüzey olması için gerekli ve yeterli şartlar incelenmektedir. Kinematik yüzeyin yine tubular yüzey olduğu en genel durum olan birinci durumda, temel diferansiyel geometrik özellikler olan temel formlar, Gauss eğriliği, ortalama eğrilik, asli eğrilikler ve şekil operatörü hesaplanmaktadır. Ayrıca bu kinematik tubular yüzeyin parametrik eğrilerinin eğrilik çizgisi, asimptotik eğri ve geodezik eğri olması için gerek ve yeter şartlar verilmektedir. Makalenin sonunda  uzayında alınan birim hızlı bir eğri için önce tubular yüzey ve sonra sabit sırt uzaklıklı kinematik yüzeyi elde edilmektedir. İlgili hesaplamalar yapılmakta ve grafikler sunulmaktadır.

Keywords

• katı cisim hareketi
• tubular yüzey
• kinematik yüzeyler

Supporting Institution

Yazar Azat Kulu, TÜBİTAK 2211-A Genel Yurt İçi Doktora Burs Programı kapsamında desteklenmiştir.

Ethical Statement

Bu çalışma, matematik alanında teorik bir çalışmadır. İnsan katılımcılar, hayvanlar, anketler, görüşmeler, klinik veriler, deneysel biyolojik materyaller veya kişisel veriler içermemektedir. Bu nedenle etik kurul onayı gerekmemektedir.

Thanks

Yazar Azat Kulu, BİDEB 2211-A burs programı kapsamında sağladığı destek için Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumuna (TÜBİTAK) teşekkür eder.

Kinematic tubular surface at a constant distance from the edge of regression

Abstract

In this study, a rigid-body motion represented by quaternions is applied to a tubular surface in . Starting from a given tubular surface, the corresponding kinematic surface is obtained by using a quaternionic rotation and a prescribed constant displacement. It is shown that, in general, the resulting kinematic surface is not a tubular surface. By considering special choices of the rotation axis, the rotation angle, and the translation vector of the motion, several special cases of the kinematic surface are obtained. For these cases, necessary and sufficient conditions are derived for the resulting kinematic surface to be a tubular surface. In the most general special case in which the kinematic surface is again a tubular surface, the coefficients of the first and second fundamental forms, the Gaussian curvature, the mean curvature, the principal curvatures, and the shape operator are computed. Moreover, criteria are given for the parameter curves of this kinematic tubular surface to be lines of curvature, asymptotic curves, and geodesics. Finally, for a unit speed curve in , the associated tubular surface is first constructed, and then its kinematic surface at a constant distance from the edge of regression is obtained. The relevant computations are carried out, and the corresponding figures are presented.

Keywords

• rigid-body motion
• tubular surface
• kinematic surface

Supporting Institution

The author Azat Kulu was supported by TÜBİTAK 2211-A National PhD Scholarship Program.

Ethical Statement

This study is a theoretical study in the field of mathematics. It does not involve human participants, animals, surveys, interviews, clinical data, experimental biological materials, or personal data. Therefore, ethics committee approval is not required.

Thanks

he author Azat Kulu would like to thank the Scientific and Technological Research Council of Türkiye (TÜBİTAK) for its support within the scope of the doctoral scholarship program.

References

1. [1] T. Maekawa, N. M. Patrikalakis, T. Sakkalis, and G. Yu, “Analysis and applications of pipe surfaces,” Comput. Aided Geom. Des., vol. 15, no. 5, pp. 437–458, 1998, doi: 10.1016/S0167-8396(97)00042-3.
2. [2] Z. Xu, R. Feng, and J. G. Sun, “Analytic and algebraic properties of canal surfaces,” J. Comput. Appl. Math., vol. 195, no. 1–2, pp. 220–228, 2006, doi: 10.1016/j.cam.2005.08.002.
3. [3] F. Ateş, E. Kocakuşaklı, İ. Gök, and Y. Yaylı, “A study of the tubular surfaces constructed by the spherical indicatrices in Euclidean 3-space,” Turkish J. Math., vol. 42, no. 4, pp. 1711–1725, 2018, doi: 10.3906/mat-1610-101.
4. [4] F. Doğan and Y. Yaylı, “On the curvatures of tubular surface with Bishop frame,” Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A1 Math. Stat., vol. 60, no. 1, pp. 59–69, 2011, doi: 10.1501/Commua1_0000000669.
5. [5] F. Doğan and Y. Yaylı, “Tubes with Darboux frame,” Int. J. Contemp. Math. Sci., vol. 7, no. 16, pp. 751–758, 2012.
6. [6] M. Arribas, A. Elipe, and M. Palacios, “Quaternions and the rotation of a rigid body,” Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 96, no. 3–4, pp. 239–251, 2006, doi: 10.1007/s10569-006-9037-6.
7. [7] D. J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, 2nd ed. Reading, MA, USA: Addison-Wesley, 1961.
8. [8] J. B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton, NJ, USA: Princeton University Press, 2002.

9. [9] Ö. Tarakcı and H. H. Hacısalihoğlu, “Surfaces at a constant distance from the edge of regression on a sur-face,” Appl. Math. Comput., vol. 155, no. 1, pp. 81–93, 2004, doi: 10.1016/S0096-3003(03)00761-6.
10. [10] A. Çakmak and Ö. Tarakcı, “On the tubular surfaces in E³,” New Trends Math. Sci., vol. 5, no. 1, pp. 40–50, 2017, doi: 10.20852/ntmsci.2017.124.
11. [11] S. Çelik, H. Kuşak Samancı, and H. B. Karadağ, “q-Çatısı kullanılarak reel kuaterniyonlar ile oluşturulan kanal ve tüp yüzeylerinin karakterizasyonları,” Karadeniz Fen Bilim. Derg., vol. 14, no. 3, pp. 1120–1140, 2024, doi: 10.31466/kfbd.1423720.
12. [12] S. Çelik, H. Kuşak Samancı, and H. B. Karadağ, “Canal and tube surfaces with split quaternions in Min-kowski 3-space according to the q-frame,” J. Sci. Arts, vol. 25, no. 3, pp. 469–484, 2025, doi: 10.46939/J.Sci.Arts-25.3-a01.