A Study on Beronoulli Numbers and Logistic Distribution Function

Abstract

The Bernoulli polynomial is a polynomial which is the sum of p'th powers of the first n positive integers and of degree p+1. Bernoulli numbers can be obtained from Bernoulli polynomials. The Bernoulli polynomials and Bernoulli numbers have been used in applied mathematics, especially in numerical analysis, difference equations and asymptotic analysis of the sums. The Bernoulli polynomials and Bemoulli numbers have useful and important applications in statistics. For example, Stirling’s approximations is one of the important applications. In this work we obtained the cumulant generating function of logistic distribution using Bernoulli numbers.

Keywords

• Bernoulli Polynomials
• Bernoulli Numbers
• Logistic Distribution
• Characteristic Function

Bernoulli Sayıları ve Lojistik Dağılış Fonksiyonu Üzerine Bir Çalışma

Abstract

Bernoulli polinomu, ilk n tamsayısının p’ci kuvvetlerinin toplamını belirten p+1’ci dereceden bir polinomdur. Bernoulli polinomlarından yararlanarak Bernoulli sayıları elde edilebilir. Bernoulli polinomu ve Bernoulli sayıları, Uygulamalı matematiğin birçok alanında, özelliklede sayısal çözümleme, fark denklemleri ve toplamların asimtotik analizinde kullanılmaktadır. Bernoulli polinomları ve Bernoulli sayılarının aynı zamanda İstatistik Biliminde de birçok önemli ve yararlı uygulamaları vardır. Örneğin Stirling yaklaşımı en önemli uygulamalarından birisidir. Bu çalışmada Bernoulli sayıları kullanılarak lojistik dağılış fonksiyonunun, kümülant çıkaran fonksiyonu elde edilmiştir.

Keywords

• Bernoulli Polinomları
• Bernoulli Sayıları
• Lojistik Dağılış
• Karakteristik Fonksiyon

References

1. ATKINSON, K.E (1978), an Introduction to Numerical Analysis, John Wiley&Sons, New York.
2. DÜNDAR, S. (2000), Fourier Dönüşümü ve Karakteristik Fonksiyon, D.E.Ü İ.İ.B.F Dergisi, Cilt:15, Sayı:2, s:115-126, İzmir.
3. KELLEY, W.G. and PETERSON, A.C. (1991), Diference Equations, Acedemic Pres, San Diego.
4. KHURI, A.I (1993), Advenced Calculus with Aplications in Statistics, John Wiley&Sons, New York.
5. KINCAID, D. and CHENEY, W. (1991), Numerical Analaysis Mathematics of Scientific Computing, Brooks-Cole Publishing Comp. , California.
6. SARAÇOĞLU, B. and ÇEVİK, F. (1995), Matematiksel İstatistik, Gazi Büro Kitapevi, Ankara.
7. STUART, A. and ORD, J.K. (1987), Advanced Theory of Statistics, Vol:1 CharlesGiffin, London.