Z_2^r×Z_2^s×R^t Halkası Üzerindeki Devirli Kodlar İçin Bazı Sonuçlar

Öz

Z_4 halkası kodlama teorisinde çok önemli bir yere sahip olmasına rağmen, dört elemanlı önemli diğer bir halka Z_2 [u] halkasıdır. Z_2 [u] halkası üzerindeki lineer ve devirli kodların Z_4 halkası üzerindeki lineer ve devirli kodlara göre bazı avantajları olduğu iyi bilinmektedir. Bu çalışmada, ilk olarak 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodlar ve devirli kodlar tanımlandı. Daha sonra, Z_2^r×Z_2^s×R^t’deki Lee uzaklığını Z_2^n’deki Hamming uzaklığına dönüştüren Gray dönüşümü kullanılarak 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodların Gray görüntüleri elde edildi. Ayrıca, 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodların standart üreteç ve kontrol matrislerinin formu belirlendi. Böylece bir 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-lineer kodun tipi ve sahip olduğu kodsöz sayısı verildi. Dahası, 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-devirli kodların cebirsel yapıları incelendi ve bu kodların üreteç polinomları ile minimum üreteç kümeleri belirlendi. Son olarak, ayrılabilir 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-devirli kodların duallerinin formu araştırıldı ve etkili bazı örnekler verildi.

Anahtar Kelimeler

• Lineer kod
• Devirli kod
• Z_2 Z_2 [u]-lineer kod
• Dual kod

Some Results For Cyclic Codes Over The Ring Z_2^r×Z_2^s×R^t

Abstract

The ring Z_4 has a critical role in coding theory. Another important ring with four elements like ring Z_4 is the ring Z_2 [u]. It is well known that linear and cyclic codes over the ring Z_2 [u] has some advantages compared to Z_4. In this paper, firstly, 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear and cyclic codes are defined. Then, using the Gray map Φ that transforms the Lee distance in Z_2^r×Z_2^s×R^t to Hamming distance in Z_2^n, the Gray images of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear codes are obtained. Also, the standart forms of generating and parity-check matrices of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear codes are determined. So, the types and sizes of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-linear codes are given. Further, algebraic structures of 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]-cyclic codes are investigated and the generator polynomials and spanning sets of these codes are determined. Finally, the forms of the dual of separable 〖Z_2 Z〗_2 Z_2 [u]- cyclic codes are presented and are given some illustrative examples.

Keywords

• Linear code
• Cyclic code
• Z_2 Z_2 [u]-linear code

References

1. Abualrub T., Siap I., Aydin N. 〖Z_2 Z〗_4-additive cyclic codes. IEEE Trans. Inf. Theory 2014; 60(3): 1508-1514.
2. Aydogdu I., Abualrub T., Siap, I. On Z_2 Z_2 [u]-additive codes. Int. J. Comput. Math.. 2015; 92: 1806-1814.
3. Aydogdu I., Abualrub T., Siap I. 〖Z_2 Z〗_2 [u]-cyclic and constacyclic codes. IEEE Trans. Inf. Theory 2017; 63(8): 4883-4893.
4. Aydogdu I., Gursoy F. 〖Z_2 Z〗_4 Z_8-Cyclic Codes. J. Appl. Math. Comput. 2019; 60(1-2): 327-341.
5. Borges J., Fernández-Córdoba C., Pujol J., Rifa J. Villanueva M. 〖Z_2 Z〗_4-linear codes: Generator matrices and duality, Des. Codes Cryptogrph. 2009; 54(2): 167-179.
6. Borges J. Fernández-Córdoba C. A characterization of 〖Z_2 Z〗_2 [u]-linear codes. Des. Codes Cryptogrph., Des. Codes Cryptogr. 2018; 86(7): 1377–1389.
7. Brouwer A. E., Hamalainen H. O., Ostergard, P. R. J., Sloane N. J. A. Bounds on mixed binary/ternary codes. IEEE Trans. Inf. Theory 1998; 44(1): 140-161.
8. Çalışkan B. On one-weight and acd codes in Z_2^r×Z_4^s×Z_8^t. Filomat 2021; 35(3).

9. Çalışkan B., Balıkçı K. Counting Z_2 Z_4 Z_8 -additive codes. European Journal of Pure and Applied Mathematics 2019; 12(2): 668-679.
10. Çalışkan B., Özkan Ö., Serbest Z_2 Z_4 Z_8-Toplamsal Kodları Sayma. Erzincan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 2020; 13: 70 -75.
11. Çalışkan B. Linear Codes over the Ring Z_8+uZ_8+vZ_8. Conference Proceeding of 3rd International E-Conference on Mathematical Advances and Applications (ICOMAA-2020), Conference Proceeding Science and Technology 2020; 3(1): 19-23.
12. Hammons A.R., Kumar P.V., Calderbank A.R., Sloane N.J.A., Solé P. The Z_4-linearity of kerdock, preparata, goethals and related codes. IEEE Trans. Inform. Theory 1994; 40: 301–319.
13. Mostafanasab H. Triple cyclic codes over Z_2. Palest. J. Math. 2017; 6(Special Issue: II): 123-134.
14. Siap I., Aydogdu I. The Structure of 〖Z_2 Z〗_(2^s )-Additive Codes: Bounds on the Minimum Distance. Appl. Math. Inf. Sci. 2013; 7(6): 2271-2278.
15. Wu T., Gao J., Gao Y., Fu F.W. Z_2 Z_2 Z_4-additive cyclic codes. Adv. Math. Commun. 2018; 12: 641-657.