Reformulated Zagreb Indices of Some Cycle-Related Graphs and Linear [n]-Phenylenes

Abstract

Graph invariants (topological indices) are numerical values of graphs obtained from 2-dimensional (2-D) images of chemical structures. These invariants are used in the structure-property/activity studies to predict certain properties such as the enthalpy of vaporization, and stability of molecular structures. In this paper, reformulated Zagreb indices, which are edge-degree-based indices, are considered. First, the reformulated Zagreb indices for cycle-related graphs which are wheel, helm, gear, friendship, closed helm, flower, sun, and sunflower are computed. The values of the first and second reformulated Zagreb indices of cycle-related these graphs and also the values of reformulated Zagreb indices of graphs with the same edge cardinality among studied graphs are compared numerically with the MATLAB software program. Finally, reformulated first Zagreb index and reformulated second Zagreb index of linear [n]-phenylenes are calculated and these values are computed numerically.

Keywords

• Chemical graph theory
• topological index
• reformulated Zagreb indices
• Cycle-related graphs
• linear [n]phenylenes

Devir İçeren Bazı Grafların ve Lineer [n]-phenylenlerin Yeniden Formüle Edilmiş Zagreb İndeksleri

Öz

Graf değişmezleri (topolojik indeksler), kimyasal yapıların 2 boyutlu görüntülerinden elde edilen grafların sayısal değerleridir. Bu değişmezler, moleküler yapıların buharlaşma entalpisi ve kararlılığı gibi belirli özellikleri tahmin etmek için yapı-özellik/aktivite çalışmalarında kullanılır. Bu çalışmada kenar derece tabanlı indekslerden yeniden formüle edilmiş Zagreb indeksleri ele alınmıştır. İlk olarak, tekerlek, dümen, dişli, arkadaşlık, kapalı dümen, çiçek, güneş ve ayçiçeği gibi devir içeren graflar için yeniden formüle edilmiş Zagreb indeksleri hesaplanır. Son olarak, devir içeren bu grafların birinci ve ikinci yeniden formüle edilmiş Zagreb indekslerinin değerleri ve ayrıca çalışılan graflar arasında aynı kenar kardinalitesine sahip grafların yeniden formüle edilmiş Zagreb indekslerinin değerleri MATLAB yazılım programı ile sayısal olarak karşılaştırılmıştır. Son olarak, doğrusal [n]-fenilenlerin yeniden formüle edilmiş birinci Zagreb indeksi ve yeniden formüle edilmiş ikinci Zagreb indeksi hesaplanmış ve bu değerler sayısal olarak hesaplanmıştır.

Anahtar Kelimeler

• Kimyasal graf teori
• topolojiksel indeks
• yeniden formüle edilmiş Zagreb indeksleri
• çevre grafla ilgili graflar
• lineer [n]phenylenler

References

1. Asok A., Kureethara JV. The QSPR study of butane derivatives: A mathematical approach. Oriental Journal of Chemistry 2018; 34(4): 1842-1846.
2. Basavanagoud B., Barangi AP., Jakkannavar P. M-polynomial of some graph operations and cycle related graphs. Iranian Journal of Mathematical Chemistry 2019; 10(2): 127-150.
3. Das KC., Akgunes N., Togan M., Yurttas A., Cangul IN., Cevik AS. On the first Zagreb index and multiplicative Zagreb coindices of graphs. Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta 2016;24(1): 153–176.
4. De N. Some bounds of reformulated Zagreb indices. Applied Mathematical Sciences 2012; 6(101): 5005-5012.
5. Ediz S., Çiftçi İ., Taş Z., Cancan M., Farahani MR., Aldemir MŞ. A note on QSPR analysis of total Zagreb and total Randić indices of octanes. Eurasian Chemial Communications 2021; 3: 139-45.
6. Estrada E., Bonchev, D. Chemical graph theory. Chapman and Hall/CRC, New York 2013. Gallian JA. A dynamic survey of graph labeling. Electronic Journal of Combinatorics 2007; DS6: 1-58.
7. Gutman I., Trinajstić, N. Graph theory and molecular orbitals. total π-electron energy of alternant hydrocarbons. Chemical Physics Letters 1972; 17(4): 535–538.
8. Havare OC., Havare AK. Computation of the forgotten topological index and co-index for carbon base nanomaterial. Polycyclic Aromatic Compounds 2022; 42(6): 3488-3500.

9. Javaid M., Ali U., Siddiqui K. Novel connection-based Zagreb indices of several wheel-related graphs. Computational Journal of Combinatorial Mathematics 2020; 2(2020):31-58.
10. Ji S., Li X., Huo, B. On reformulated Zagreb indices with respect to acyclic, unicyclic and bicyclic graphs. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry 2014; 72(3): 723-732.
11. Kaya Gök G. On the reformulated zagreb coindex. Journal of New Theory 2019; 28: 28-32.
12. Liu JB., Ali B., Malik MA., Siddiqui HMA., Imran M. Reformulated Zagreb indices of some derived graphs. Mathematics 2019; 7(4): 366.
13. Nacaroğlu Y., Maden AD. The multiplicative Zagreb coindices of graph operations. Utilitas Mathematica 2017; 102: 19-38.