q-Jackson Türevi ve Özdeğere Bağlı Sınır Koşulları ile Oluşturulan Bir Sınır Değer Probleminin Spektral Özellikleri

Year 2020, Volume: 3 Issue: 2, 117 - 125, 15.12.2020

Fatma Ayça Çetinkaya

https://doi.org/10.47495/okufbed.792575

Abstract

Spektral yöntemlerin ve özeşlenik operatörler teorisinin gelişiminde önemli bir rol oynayan Sturm-Liouville teorisi birçok çalışmada Sturm-Liouville operatörü ile oluşturulmuş sınır değer problemleri olarak ele alınmıştır. Şimdiye kadar Sturm-Liouville sınır değer problemlerinde çoğunlukla klasik türev operatörü kullanılmış olsa da 2005 yılında Sturm-Liouville sınır değer problemlerindeki klasik türev operatörü Jackson türevi ile değiştirilmiş ve böylece konuya farklı bir bakış açısı getirilmiştir. Matematiksel problemlerin uygulamalarında sıklıkla karşılaşılan sınır koşullarında özdeğer parametresi içeren sınır değer problemleri uzun bir geçmişe sahiptir. Bu çalışmada, Jackson türevi içeren ikinci mertebeden bir fark denklemi ve özdeğer parametresine bağlı sınır koşulları ile oluşturulmuş bir sınır değer problemi ele alınmıştır. Probleme uygun direkt toplam uzayında verilen iç çarpım yardımıyla simetrik lineer bir operatör tanımlanarak, ele alınan sınır değer probleminin özdeğer ve özfonksiyon özellikleri incelenmiş ve Green fonksiyonu inşa edilmiştir.

Keywords

q-Jackson türevi, Sturm-Liouville operatörü, Sınır değer problemi, özdeğer ve özfonksiyon, Green fonksiyonu

References

• [1] Annaby MH., Mansour ZS. Basic Sturm-Liouville problems, Journal of Physics A: Mathematical and General 2005; 48: 3775-3797. https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/17/005
• [2] Annaby MH, Mansour ZS. q-fractional calculus and equations. Springer; 2012.
• [3] Eryılmaz A. Spectral analysis of a q-Sturm-Liouville problem with spectral parameter in the boundary conditions, Journal of Function Spaces and Applications 2012; (Article ID 736437), 17 pages. https://doi.org/10.1155/2012/736437
• [4] Al-Towaib MA., A q-fractional approach to the regular Sturm-Liouville problems, Electronic Journal of Differential Equations 2017; 88: 1–13.
• [5] Mansour ZS., On fractional q-Sturm-Liouville problems, Journal of Fixed Point Theory and Applications 2017; 19: 1591–1612. https://doi.org/10.1007/s11784-016-0331-y
• [6] Allahverdiev BP., Tuna H., An expansion theorem for q-Sturm-Liouville operators on the whole line, Turkish Journal of Mathematics 2018; 42(3): 1060–1071. https://doi.org/10.3906/mat-1705-22
• [7] Akça H., Benbourename J., Eleuch H., The q-derivative and differential equation, Journal of Physics : Conference Series 2019; 1411, 012002. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1411/1/012002
• [8] Aydın İ. Bir q-kesirli sınır değer probleminin spektral özellikleri, Yüksek Lisans Tezi, Mersin Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 47 sayfa: Mersin, Türkiye, 2019.
• [9] Çetinkaya FA., Aydın İ., Spectral properties of a q-boundary value problem with piecewise-continuous coefficient, Palestine Journal of Mathematics 2019; 8(11): 390–396.
• [10] El-Metwally, H., Masoud, FM., Solving some q-difference equations of the fourth order, Journal of Fractional Calculus and Applications 2020; 11(1): 97–111.
• [11] Fulton, CF., Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proceedings of Royal Society of Edinburgh 1997; 77: 293–308
• [12] Titchmarsh EC, Eigenfuction expansions associated with second order differential equations I, 2nd edition. Oxford University Press; 1962.
• [13] Walter, J., Regular eiganvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions, Mathematische Zeitschrift 1973; 133: 301-312.
• [14] Russakovskij, EM., Operator treatment of boundary value problems with spectral parameters entering via polynomials in the boundary conditions, Functional Analysis and Its Applications 1975; 9: 358-359.
• [15] Hinton, DB., An expansion theorem for an eigevalue problem with eiganvalue parameter in the boundary conditions, The Quarterly Journal of Mathematics 1979; 30: 33-42.
• [16] Binding, P., Hryniv, R., Langer, H., Elliptic eigenvalue problems with eigenparameter-dependent boundary conditions, Journal of Differential Equations 2001; 174: 30-54.
• [17] Binding, PA., Browne, PJ., Watson, BA., Sturm-Liouville problems with boundary conditions rationally dependent on the eigenparameter II, Journal of Computational and Applied Mathematics 2002; 148(1): 147-168.
• [18] Huseynov, HM., Jamshidipour, AH., On Jost solutions of Sturm-Liouville equations with spectral parameter in discontinuity condition, Transactions of NAS of Azerbaijan 2010; XXX(4): 61-68.
• [19] Kablan, A. Özden, T., A Dirac system with transmission condition and eigenparameter in boundary condition, Abstract and Applied Analysis 2013; Article ID 395457, 6 pages, https://doi.org/10.1155/2013/395457
• [20] Şen, E., Asymptotic properties of eigenvalues of a Sturm-Liouville problem with discontinuous weight function, Miskolc Mathematical Notes 2014; 15 (1): 197-209, https://doi.org/10.18514/MMN.2014.706
• [21] Tuna, H., Kendüzler, A., On the completeness of eigenfunctions of a discontinuous Dirac operator with an eigenparameter in the boundary condition, Filomat 2017; 31(8): 2537-2544 https://doi.org/10.18514/MMN.2014.706
• [22] Çetinkaya, FA., A discontinuous q-fractional boundary value problem with eigenparameter dependent boundary conditions, Miskolc Mathematical Notes 2019; 20(2): 795-806, https://doi.org/10.18514/MMN.2019.2692
• [23] Çetinkaya, FA., Basic properties of an eigenparameter-dependent q-boundary value problem, Kragujevac Journal of Mathematics 2019; 43(4): 503-512.
• [24] Jackson, FH., On q- functions and certain difference operator, Transactions of Royal Society of Edinburgh, 1908; 46: 64-72.