Unbounded Star Convergence in Lattices

Year 2024, Volume: 7 Issue: 4, 1775 - 1782, 16.09.2024

Mehmet Vural

https://doi.org/10.47495/okufbed.1435110

Abstract

Let L be a vector lattice, "(" x_α ") " be a L-valued net, and x∈L . If |x_α-x|∧u→┴o 0 for every u ∈〖 L〗_+ then it is said that the net "(" x_α ")" unbounded order converges to x and is denoted by □(x_α □(→┴uo x)) . This definition of unbounded order convergence has been extensively studied on many structures, including vector lattices, local solid vector lattices, normed lattices and lattice normed spaces. It is not possible to apply this type of convergence to general lattices due to the lack of algebraic structure. Therefore, we will use a type of convergence that is considered to be the motivation for this type of convergence, first defined as independent convergence in semi-ordered linear spaces and later called unbounded order convergence. Namely, L is a lattice, x_α is an L -valued net, and x ϵ L . If (x_α∧b )∨a order converges to (x∧b )∨a for every a,b∈L with a≤b, then it is said that "(" x_α ")" individual converges to x or unbounded order converges to x . This definition can be easily applied to general lattices. In this article, this definition will be understood as unbounded order convergence. Also, even if these two convergences are called by the same name, there is no equivalence between them for general lattices, an example of this is mentioned in this article. Let L be a partially ordered set, "(" x_α ")" be an L -valued net and x∈L (x_α) is said to be star convergent to x if every subnet of the net (x_α ) has a subnet that is order convergent to x and denoted by x_α □(→┴s x). In this paper, a new type of convergence on lattices is defined by combining unbounded order convergence (individual convergence) and star convergence. Let L be a lattice, (x_α ) a net and x∈L (x_α) is said to be unbounded star convergent to x if for every subnet (x_β) of (x_α), there exists a subnet (x_ζ) of (x_β) such that (x_ζ∧b)∨ □(a→┴o ) (x∧b)∨a for every a,b∈L with a≤b and it is denoted by x_α □(→┴us x). The differences between the new type of convergence, called unbounded star convergence, and order convergence, star convergence are demonstrated with counterexamples. The meaningfulness of the unbounded star convergence type is analyzed with these counterexamples and the implications presented. In addition, basic questions about unbounded star convergence of a given net on lattices such as convergence of a fixed net, uniqueness of the limit, convergence of the subnet of a convergent net are answered.

Keywords

Order convergence, Star convergence, Individual convergence, Unbounded order convergence, Unbounded star convergence

Latislerde Sınırsız Yıldız Yakınsama

Abstract

L bir vektör latis, (x_α),L-değerli bir net ve x∈L olmak üzere her u ∈〖 L〗_+ için |x_α-x|∧u→┴o 0 ise (x_α), neti x elemanına sınırsız sıra yakınsıyor denir ve. x_α □(→┴uo x) ile gösterilir. Sınırsız sıra yakınsaklığın bu tanımı vektör latislerde, yerel solid vektör latislerde, normlu latislerde ve latis normlu uzaylarda başta olmak üzere birçok yapı üzerinde fazlasıyla çalışılmıştır. Bu yakınsaklık tipini genel latislere uygulamak cebirsel bir yapının yokluğundan dolayı mümkün değildir. Bundan dolayı bu yakınsaklık tipinin motivasyonu olarak kabul edilen ve ilk olarak yarı-sıralı lineer uzaylarda bağımsız yakınsama adı ile tanımlanan ve sonrasında sınırsız sıra yakınsama olarak adlandırılan bir yakınsama tipi kullanılacaktır. Şöyle ki L bir latis, (x_α) L -değerli bir net ve x∈L olmak üzere a≤b koşulunu sağlayan her a,b∈L için(x_α∧b )∨a neti (x∧b )∨a elemanına sıra yakınsıyor ise (x_α) ,x elemanına bağımsız yakınsıyor ya da sınırsız sıra yakınsıyor denir. Bu tanım genel latislere rahatlıkla uygulanabilir. Bu makalede sınırsız sıra yakınsamadan bu tanım anlaşılacaktır. Ayrıca bu iki yakınsama aynı isimle anılsa dahi aralarında genel latisler için herhangi bir denklik bulunmamaktadır, buna dair bir örnekten makalede bahsedilmiştir. L kısmi sıralı bir küme, (x_α) L -değerli bir net ve x∈L olmak üzere (x_α) netinin her alt netinin x elemanına sıra yakınsayan bir alt neti var ise (x_α) , x elemanına yıldız yakınsıyor denir ve x_α □(→┴s x). ile gösterilir. Bu makalede sınırsız sıra yakınsama (bağımsız yakınsama) ile yıldız yakınsama kombine edilerek latisler üzerinde yeni bir yakınsama tipi tanımlanmıştır. Şöyle ki L bir latis, (x_α ) bir net ve x∈L olsun. a≤b koşulunu sağlayan her a,b∈L için (x_α ) ’nın her alt neti (x_β ) 'nın (x_ζ∧b)∨ □(a→┴o ) (x∧b)∨a olacak biçimde bir (x_ζ) alt neti var ise (x_α ) ,x elemanına sınırsız yıldız yakınsıyor denir ve □(x_α →┴us x). ile gösterilir. Sınırsız yıldız yakınsama adı verilen yeni tip yakınsamanın sıra yakınsama ve yıldız yakınsama ile farklılıkları ters örnekler ile ortaya konulmuştur. Bu ters örnekler ve sunulan gerektirmeler ile sınırsız yıldız yakınsama tipinin anlamlılığı incelenmiştir. Ayrıca latisler üzerinde verilen bir netin sınırsız yıldız yakınsaklığı ile ilgili sabit netin yakınsaklığı, limitin biricikliği, yakınsak bir netin alt netinin yakınsaklığı gibi temel sorulara cevap verilmiştir

Keywords

Sıra yakınsama, Yıldız yakınsama, Bağımsız yakınsama, Sınırsız sıra yakınasma, Sınırsız yıldız yakınsama.

References

• Anguelov R., Van der Walt JH. Order convergence structure on C(X). Quaestiones Mathematicae 2005; 28(4): 425-457.
• Birkhoff G. Lattice theory. American Mathematical Society 1967.
• DeMarr R. Partially ordered linear spaces and locally convex linear topological spaces. Illinois Journal of Mathematics 1964; 8(4): 601-606.
• Kantorovich LV. Lineare halbgeordnete räume. Математический сборник 1937; 2(1): 121-168.
• Kaplan S. On unbounded order convergence. Real Analysis Exchange 1997; 23(2): 175-184.
• Lowig H. Intrinsic topology and completion of boolean rings. Annals of Mathematics 1941; 42(4): 1138-1196.
• Nakano H. Ergodic theorems in semi-ordered linear spaces. Annals of Mathematics 1948; 49(2): 538-556.
• Rennie BC. Lattices. Proceedings of the London Mathematical Society 1950; 2(1): 386-400.
• Urysohn P. Sur les classes (l) de m. Fréchet. Enseignement Mathématique 1926; 25: 77-83.
• Von Neumann J. On complete topological spaces. Transactions of the American Mathematical Society 1935; 37(1): 1-20.
• Wickstead AW. Weak and unbounded order convergence in Banach lattices. Journal of the Australian Mathematical Society 1977; 24(3): 312-319.