Comparison of cardinality constrained portfolio optimization models with performance and risk measures on BIST data

Abstract

Context—Sparse portfolios are types of portfolios where only a few assets are allocated positive weights in a large investment asset space. Cardinality constrained Mean-Variance and cardinality constrained Mean-Absolute-Deviation portfolio optimization models are used for rigorously selecting and allocation assets for sparse portfolios. The validity of the optimization results obtained from these models depend on the satisfaction of model assumptions, the nature and quality of the input data, appropriate use of statistical estimation methods.

Objective—The purpose of this empirical study is to compare the performance of cardinality constrained portfolio optimization models structured with various performance metrics and risk metrics using an approach that combine model assumption checking, statistical estimation, inference, and hypothesis testing methods to reduce overall errors and increase confidence in the portfolios obtained from these models.

Method—In our empirical study BİST30 and BİST100 stocks price data collected from 03/01/2021-04/01/2026 period. In this regard; 1) The price time series data is filtered and cleaned. 2) The logarithmic and linear weekly raw returns are calculated from closing prices. 3) Lognormality of the weekly average of returns are checked with Anderson-Darling statistical tests. 4) The logarithmic distributions are projected into the future. 5) Using appropriate statistical techniques, parameters of distributions of the predicted returns are calculated. 6) Sample Average Approximation technique is used for building returns scenarios. 7) Portfolio optimization models are constructed using predicted distributions with both mean-variance risk metric and mean-absolute-deviation risk metrics, which are solved for different levels of risk aversion and cardinality levels. 8) For risk free rates 0 and 40% annual; the performance metrics such as Annualized Mean, Annualized Sharpe Ratio, Annualized Sortino Ratio, Calmar Ratio, Mean Absolute Deviation Ratio, Average Drawdown Ratio; and risk metrics such as Annualized Semi-Deviation, Annualized Semi-Variance, Annualized Standard Deviation, Annualized Variance, CVaR at 95%, MAX Drawdown are calculated for each of the portfolios and compared using confidence interval hypothesis tests.

Results—For a considerable number of BİST100 stocks, the lognormality of returns hypothesis can’t be rejected at statistical significance level 1%. Impact of cardinality constraint tightening is found to be efficient frontier moving right on risk return graph, which implies as cardinality becomes constrained, more risk needs to be taken for the same return.

Conclusion—Cardinality constrained mean variance portfolio optimization models were found to produce portfolios with lower risk. These portfolios have higher risk adjusted returns when risk free rates are low, but when risk free rates are high there are cases cardinality constrained mean absolute deviation model produced portfolios become superior.

Keywords

• Portfolio Optimization
• Mixed Integer Programming
• Mixed Integer Quadratic Programming
• Hypothesis Testing
• Statistical Estimation

Kardinalite kısıtlı portföy optimizasyonu modellerinin BİST verisi kullanılarak performans ve risk ölçütleri ile kıyaslanması

Abstract

Arka Plan—Seyrek portföyler geniş bir yatırım varlığı uzayında oluşturulan, göreceli olarak az sayıda varlığın sıfırdan büyük ağırlığa sahip olduğu portföylerdir. Kardinalite kısıtlı ortalama-varyans modeli (KK-OVM) ve ortalama-mutlak-sapma modeli (KK-OMSM) matematiksel disiplinle oluşturulması için kullanılan matematiksel programlama modellerindendir. Bu modellerin en iyi çözümlerinden elde edilen portföylerin geçerliliği; modellerin varsayımlarının sağlanması, girdilerin doğası ve kalitesi, uygun istatistiksel tahmin metotlarının kullanımı ile ilintilidir.

Amaç—Bu ampirik araştırmanın amacı kardinalite kısıtlı portföy optimizasyonu için kullanılan, ortalama varyans ve ortalama mutlak sapma risk ölçütleri ile yapılandırılmış iki matematiksel optimizasyon modelini, ürettikleri portföyleri farklı performans ve risk ölçütleri ile modeli varsayımlarının ihlal edilip edilmediğini kontrol eden, tahmin, çıkarım, hipotez testi adımlarını birleştiren bir yaklaşımla kıyaslamaktır.

Yöntem—03/01/2021-04/01/2026 tarih aralığında toplanmış, BİST30 ve BİST100 endekslerinde listelenen hisse senetlerinin kapanış fiyatları kullanılarak ampirik bir çalışma yapılmıştır. Bu bağlamda; 1) Veri filtrelenmiştir. 2) Haftalık doğrusal ve logaritmik getiriler haftalık ortalama kapanış fiyatlarından hesaplanmıştır. 3) Logaritmik getirilerin normal dağılıma uyup uymadığının kontrolü Anderson-Darling hipotez testi ile sağlanmıştır. 4) Haftalık logaritmik getiri dağılımı geleceğe yansıtılmıştır. 5) Yansıtılmış logaritmik getiri dağılımından yansıtılmış doğrusal getiri dağılımı elde edilmiştir. 6) Örneklem Ortalaması Yakınlaştırılması ile doğrusal getiri senaryoları oluşturulmuştur. 7) Ortalama varyans ve ortalama mutlak sapma risk ölçütleri ile yapılandırılmış, kardinalite kısıtlı, iki matematiksel optimizasyon modeli yansıtılmış veri ile elde edilmiştir. Bu modeller farklı riskten kaçınma ve kardinalite parametreleri ile çözülmüştür. 8) Modellerin çözümü ile elde edilen portföylerden hesaplanan performans ölçütleri: yıllık getiri, yıllık Sharpe oranı, yıllık Sortino oranı, yıllık Calmar oranı, ortalama-mutlak-sapma oranı ve ortalama düşme oranı; risk ölçütleri: yıllık yarı-sapma, yıllık yarı-değişkenlik, yıllık sapma, yıllık değişkenlik, koşullu % 95 riskteki değer ve en büyük çekilmedir. Bütün portföyler için hesaplanan performans ve risk ölçütleri, istatistiksel olarak güven aralığı hipotez testleriyle kıyaslanmıştır.

Bulgular—Birçok BİST100 hissesi için logaritmik getirilerin normalliğinin % 1 istatistiksel anlamlılıkta reddedilemediği tespit edilmiştir. Kardinalite kısıtlarındaki sıkılaşmanın etkin sınırı getiri-risk grafiğinde sağa kaydırdığı ve aynı getiri için daha fazla risk almak gerekliliği doğurduğu tespit edilmiştir.

Sonuç—Kardinalite kısıtlı ortalama-varyans ile yapılandırılmış portföy optimizasyonu modellerinin, ortalama-mutlak-sapma ile yapılandırılmış benzer modellere göre daha düşük riskli portföyler ürettiği gözlemlenmiştir. Risksiz getiri oranının düşük olduğu durumda riske göre ayarlanmış getirilerinin daha yüksek olduğu fakat yüksek risksiz getiri oranları altında ortalama mutlak sapma modellerinin bazı durumlarda ortalama-varyans modellerinin önüne geçen portföyler ürettiği de gözlemlenmiştir.

Keywords

• Portföy Optimizasyonu
• Karışık Tamsayılı Programlama
• Karışık Tamsayılı Karesel Programlama
• Hipotez Testi
• İstatistiksel Tahmin

References

1. H. Markowitz, “Portfolio Selection”, The Journal of Finance 7(1), 77–91, 1952. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1952.tb01525.x.
2. R. O. Michaud, “The Markowitz Optimization Enigma: Is ‘optimized’ optimal?”, Financial Analysts Journal, 45(1), 31–42, 1989. https://doi.org/10.2469/faj.v45.n1.31.
3. P. N. Kolm, R. Tütüncü, F. J. Fabozzi, “60 Years of Portfolio Optimization: Practical Challenges and Current Trends”, European Journal of Operational Research 234(2), 356–371, 2014. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2013.10.060.
4. F. Black, R. Litterman, “Asset allocation: combining investor views with market equilibrium”, The Journal of Fixed Income, 1(2), 7–18, 1991. https://doi.org/10.3905/jfi.1991.408013.
5. J. Brodie, I. Daubechies, C. D. Mol, D. Giannone, I. Loris, “Sparse and stable Markowitz portfolios”, PNAS, 106(30), 12267–12272, 2009. https://doi.org/10.1073/pnas.0904287106.
6. H. Konno, H. Yamazaki, “Mean-absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Applications To Tokyo Stock Market”, Management Science 37(5), 519–531, 1991. https://doi.org/10.1287/mnsc.37.5.519.
7. D. Bienstock, “Computational Study of a Family of Mixed-integer Quadratic Programming Problems”, Mathematical Programming, 74(2), 121–140, 1996. https://doi.org/10.1007/BF02592208.
8. R. H. Kwon, S. J. Stoyan, “Mean–absolute deviation portfolio models with discrete choice constraints”, Algorithmic Operations Research, 6(2), 118–134, 2012, https://journals.lib.unb.ca/index.php/AOR/article/view/15997.

9. H. A. L. Thi, M. Moeini, “Long-short portfolio optimization under cardinality constraints by difference of convex functions algorithm”, Journal of Optimization Theory and Applications, 161(1), 199–224, 2014. https://doi.org/10.1007/s10957-012-0197-0.
10. F. J. Fabozzi, D. A. Pachamanova, Portfolio construction and analytics, Hoboken, New Jersey, USA, John Wiley & Sons, 2016.
11. A. Meucci, Risk and asset allocation, Berlin, Heidelberg, New York, Springer, 2007.
12. E. D. Andersen, C. Roos, T. Terlaky, “On implementing a primal-dual interior-point method for conic quadratic optimization”, Mathematical Programming, 95(2), 249–277, 2003. https://doi.org/10.1007/s10107-002-0349-3.
13. S. Boyd, L. Vandenberghe, Convex optimization, New York, USA, Cambridge University Press, 2004.
14. Y. Simaan, “Estimation Risk In Portfolio Selection: the Mean Variance Model Versus the Mean Absolute Deviation Model”, Management Science, 43(10), 1437–1446, 1997. https://doi.org/10.1287/mnsc.43.10.1437.
15. M. Cihangir, A. K. Güzeler, İ. Sabuncu, “Optimal Portföy Seçiminde Konno-Yamazaki Modeli Yaklaşımı ve İMKB Mali Sektör Hisse Senetlerine Uygulanması”, Gazi Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, 10(3), 125–142, 2008. https://izlik.org/JA66LR62WK.
16. F. Kardiyen, “Portföy Optimizasyonunda Ortalama Mutlak Sapma Modeli ve Markowitz Modelinin Kullanımı ve İMKB Verilerine Uygulanması”, Süleyman Demirel Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, 13(2), 335–350, 2008. https://izlik.org/JA66DU54SX.
17. A. Shapiro, “Monte carlo sampling methods”, Handbooks in Operations Research and Management Science, 10, 353–425, 2003. https://doi.org/10.1016/S0927-0507(03)10006-0.
18. S. Ahmed, A. Shapiro. “Solving chance-constrained stochastic programs via sampling and integer programming”, Tutorials in Operations Research: State-of-the-Art Decision-Making Tools in the Information-Intensive Age, Washington, USA, INFORMS, 2008, Ch. 12, 261-269. https://doi.org/10.1287/educ.1080.0048.
19. S. Kim, R. Pasupathy, S. G Henderson, “A guide to sample average Approximation”, Handbook of Simulation Optimization, M. C. Fu, Eds., New York, USA, Springer, 2015, Ch. 8, 207–243. https://doi.org/10.1007/978-1-4939-1384-8_8.
20. Ö. İskenderoğlu, S. Akdağ, “Bulanık Ortalama Mutlak Sapma Modeli ile Portföy Optimizasyonu: BİST30 Örneği”, International Journal of Social Science Research, 6(2), 102–113, 2017. https://izlik.org/JA67GP46AG.
21. H. Ünal, “Optimal Portföy Seçiminde Bulanık Ortalama Mutlak Sapma Modeli ve BİST30 Uygulaması”, Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi, 19(3), 611–629, 2019. https://doi.org/10.11616/basbed.v19i49542.541422.
22. M. L. Erdaş, “Developing a Portfolio Optimization Model Based on Linear Programming under Certain Constraints: An Application on Borsa Istanbul 30 Index”, TESAM Akademi Dergisi, 7(1), 115–141, 2020. https://doi.org/10.30626/tesamakademi.696299.
23. L. Mencarelli, C. d’Ambrosio, “Complex Portfolio Selection Via Convex Mixed-integer Quadratic Programming: A Survey”, International Transactions in Operational Research, 26(2), 389–414, 2019. https://doi.org/10.1111/itor.12541.
24. M. R. Garey, D. S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-completeness, San Francisco, California, ABD, 1979.
25. J. J. Gao, D. Li, “A polynomial case of the cardinality-constrained quadratic optimization problem”, Journal of Global Optimization, 56(4), 1441–1455, 2013. https://doi.org/10.1007/s10898-012-9853-z.
26. D. Bertsimas, R. Cory-Wright, “A Scalable Algorithm for Sparse Portfolio Selection”, INFORMS Journal on Computing, 34(3), 1489–1511, 2022. https://doi.org/10.1287/ijoc.2021.1127.
27. O. Pala, M. Aksaraylı, “Nicelik Kısıtı Altında Optimal Portföy Çeşitlendirme”, Manisa Celal Bayar Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi, 18, 2, 171–181, 2020. https://doi.org/10.18026/cbayarsos.600258.
28. J. Kennedy, R. Eberhart, “Particle Swarm Optimization”, Proceedings of ICNN’95 - International Conference on Neural Networks, Perth, WA, Australia, 27 November – 01 December 1995, 1942–1948. https://doi.org/10.1109/ICNN.1995.488968.
29. H. Akyer, C. B. Kalaycı, H. Aygören, “Ortalama-Varyans Portföy Optimizasyonu için Parçacık Sürü Optimizasyonu Algoritması: Bir Borsa İstanbul Uygulaması”, Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, 24(1), 124–129, 2018. https://doi.org/10.5505/pajes.2017.91145.
30. N. Yapıcı Pehlivan, B. Yıldız, “Evaluation and Comparison of Metaheuristic Methods for Markowitz’s Mean-variance Portfolio Optimization Model”, İstatistikçiler Dergisi: İstatistik ve Aktüerya, 15(1), 19–33, 2022. https://izlik.org/JA59XS78SB.
31. D. Freitas, L. G. Lopes, F. Morgado-Dias, “Particle Swarm Optimisation: A Historical Review Up to the Current Developments”, Entropy 22(3), 362, 2020. https://doi.org/10.3390/e22030362.
32. R. L. Rardin, R. Uzsoy, “Experimental Evaluation of Heuristic Optimization Algorithms: A Tutorial”, Journal of Heuristics 7(3), 261–304, 2001. https://doi.org/10.1023/A:1011319115230.
33. M. A. Stephens, “EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons”, Journal of the American statistical Association, 69(347), 730–737, 1974. https://doi.org/10.1080/01621459.1974.10480196.
34. C. Nicolini, M. Manzi, H. Delatte, "skfolio: Portfolio Optimization in Python", arXiv, 2025, https://arxiv.org/abs/2507.04176.
35. G. J. Lauprête, “Portfolio risk minimization under departures from normality”, Doktora Tezi, Massachusetts Institute of Technology, Boston, Massachusetts, ABD, 2001. http://hdl.handle.net/1721.1/8303.
36. FINNET, “FINNET Metastock Downloader Pro”, https://www.finnet.com.tr/FinnetStore/Tr/Urun/FinnetMetastockDownloaderPro (31.12.2025).
37. OECD, “OECD economic surveys: Turkey 2021”, Paris, Fransa, 2021. https://doi.org/10.1787/2cd09ab1-en.
38. OECD, “OECD economic surveys: Türkiye 2023”, Paris, Fransa, 2023. https://doi.org/10.1787/864ab2ba-en.
39. OECD, “OECD economic surveys: Türkiye 2025”, Paris, Fransa, 2025. https://doi.org/10.1787/d01c660f-en.
40. P. Virtanen, R. Gommers, T. E. Oliphant, M. Haberland, T. Reddy, D. Cournapeau, E. Burovski, P. Peterson, W. Weckesser, J. Bright, S. J. van der Walt, M. Brett, J. Wilson, K. J. Millman, N. Mayorov, A. R. J. Nelson, E. Jones, R. Kern, E. Larson, C. J. Carey, İ. Polat, Y. Feng, E. W. Moore, J. VanderPlas, D. Laxalde, J. Perktold, R. Cimrman, I. Henriksen, E. A. Quintero, C. R. Harris, A. M. Archibald, A.H. Ribeiro, F. Pedregosa, P. van Mulbregt, SciPy 1.0 Contributors, “SciPy 1.0: Fundamental Algorithms for Scientific Computing in Python”, Nature Methods 17, 261–272, 2020. https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2.
41. F. Bayat, Ş. Y. Yiğiter, “Aşağı yönlü risk ölçütleri ve modern portföy teorisinin karşılaştırması: Borsa i̇stanbul örneği”, Kafkas Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, 13(25), 1–23, 2022. https://doi.org/10.36543/kauiibfd.2022.001.
42. C. Bekaroğlu, M. T. Şen, “Türkiye’de covid-19 öncesi ve sonrası döviz kuru ile borsa arasındaki nedensellik i̇lişkisi”, Management and Political Sciences Review, 5(2), 160–182, 2023. https://doi.org/10.57082/mpsr.1284568.
43. H. D. Mittelmann, “Decision Tree for Optimization Software”, https://plato.asu.edu/guide.html (31.12.2025).