En Fazla İki Adet Komşuluk Özdeğeri -1,0 ya da 1,0’dan Farklı Olan Graflar

Abstract

Bir grafın komşuluk matrisinin özdeğerleri, komşuluk spektrumunu oluşturur. Bu çalışmada, en fazla iki adet komşuluk özdeğeri -1,0 ya da 1,0’dan farklı olan tüm grafların oluşturduğu kümeler ile ilgili bazı sonuçlar sınıflandırma yapılmak suretiyle bir araya getirilmiştir. Bir grafta izole bir nokta, bu grafın komşuluk spektrumunda sadece bir adet sıfır özdeğerin yer almasına yol açacaktır. Bu sebepten dolayı, öncelikle izole nokta içermeyen grafların oluşturduğu kümeler incelenerek belirlenmeye çalışılmıştır. Daha sonra ise izole noktalar da bu kümelere dâhil edilerek, incelenen kümeler genişletilmiştir. Bu sınıflandırma, genel olarak çok parçalı tam grafları ve izole noktaları içermektedir. Dolayısıyla burada verilen grafların komşuluk spektrumlarına göre belirlenebilir olup olmadıklarına da yine bu çalışmada değinilmiştir.

Keywords

• Kospektral graflar
• Spektral karakterizasyon
• Çok parçalı tam graf

Graphs with All but Two Eigenvalues Equal to -1,0 or 1,0

Abstract

Adjacency spectrum of a graph, consists of the eigenvalues of its adjacency matrix. In this note, we compile some results (by making a classification) about the sets of all graphs that contain at most two adjacency eigenvalues different from -1,0 or 1,0. For a given graph, an isolated vertex makes a zero eigenvalue in its adjacency spectrum. Thus, firstly the sets which contains graphs without isolated vertices are investigated. Then, these sets are extended with isolated vertices. This classification includes disjoint unions of complete multipartite graphs and isolated vertices. Hence, we also mention that graphs given in here are determined by their adjacency spectrum (shortly DAS) or non-DAS.

Keywords

• Cospectral graphs
• Spectral characterization
• Complete multipartite graphs

References

1. [1] van Dam, E.R., Haemers, W.H. 2003. Which graphs are determined by their spectrum?. Linear Algebra and its Applications,373,241-272.
2. [2] Cvetkovic, D., Doob, M., Sachs, H. 1982. Spectra of graphs. Academic Press, 22s, 156s,New York.
3. [3] van Dam, E.R., Haemers, W.H. 2009. Developments on spectral characterizations of graphs. Discrete Mathematics, 309(3), 576-586.
4. [4] Ma, H., Ren, H. 2010. On the spectral characterization of the union of complete multipartite graph and some isolated vertices. Discrete Mathematics, 310, 3648-3652.
5. [5] Wang, J.F., Belardo, F., Huang, Q.X., Borovicanin, B. 2010. On the two largest Q-eigenvalues of graphs. Discrete Mathematics, 310, 2858-2866.
6. [6] Smith, J.H. 1970. Some properties of the spectrum of a graph. Combinatorial structures and their applications, Gordon and Breach, New York, 403-406.
7. [7] de Lima, L.S., Mohammedian, A., Oliveira, C.S. 2017. The non-bipartite graphs with all but two eigenvalues in [-1,1]. Linear and Multilinear Algebra, 65(3), 526-544.
8. [8] Camara, M., Haemers, W.H. 2014. Spectral characterization of almost complete graphs. Discrete Applied Mathematics, 176, 19-23.

9. [9] Cioaba, S.M., Haemers, W.H., Vermette, J.D. 2017. The graphs with all but two eigenvalues equal to -2 or 0. Designs, Codes and Cryptography, 84, 153-163.
10. [10] Cioaba, S.M., Haemers, W.H., Vermette, J.D., Wong, W. 2015. The graphs with all but two eigenvalues equal to ±1. Journal of Algebraic Combinatorics, 41, 887-897.
11. [11] Haemers, W.H., Liu X., Zhang, Y. 2008. Spectral characterizations of lolipop graphs. Linear Algebra and its Applications, 428(11-12), 2415-2423.