Two New Genaralizations of Strongly Direct Radical Supplemented Modules

Abstract

A module A is called ⊕-δ-radical supplemented if δ(A) has a δ-supplement in A that is a direct summand of A. A module A is called strongly ⊕-δ-radical supplemented if every submodule of A containing δ(A) has a δ-supplement in A that is a direct summand of A. In this paper we investigate basic properties of these modules and obtain a characterization for δ-semiperfect rings. In particular, a module A with Rad(A)≪A over a discrete valuating ring R, is strongly ⊕-δ-radical supplemented if A=R^x⊕K^y⊕Q^z⊕B_P (1,2,….n) for x,y,z,n∈N and the maximal ideal P of R where K is the quotient field of R and Q=K/R.

Keywords

• Radical supplemented module
• Strongly ⊕-δ-radical
• Supplemented module,
• δ-Small submodule

Güçlü Direkt Radikal Tümlenmiş Modüllerin İki Yeni Genelleştirmesi

Abstract

Bir A modülünün δ-radikali A nın direkt toplam terimi olacak şekilde bir δ-tümleyene sahipse A ya ⊕-δ-radikal tümlenmiş modül denir. Eğer A nın δ-radikalini içeren her alt modülü A nın direkt toplam terimi olacak şekilde bir δ-tümleyene sahip ise A ya güçlü ⊕-δ-radikal tümlenmiş modül adı verilir. Bu çalışmada tanımlanan bu modüllerin temel özellikleri araştırılmış, halka karakterizasyonları incelenmiştir. Özel olarak R ayrık değerlendirme halkası üzerinde Rad(A)≪A koşulunu gerçekleyen bir A modülünün güçlü-δ-radikal tümlenmiş olması için gerekli ve yeterli koşul P,R nin maximal ideali; K,R nin kesir cismi ve Q=K/R olmak üzere A=R^x⊕K^y 〖⊕Q〗^z⊕B_P (1,2,…n) olacak şekilde x,y,z,n Є N mevcuttur olması ile verilir.

Keywords

• Radikal tümlenmiş modül
• Güçlü ⊕-δ-radikal
• Tümlenmiş modül,
• δ-Küçük alt modül

References

1. [1] Wisbauer, R. 1991. Foundations of Module and Ring Theory. Revised and Updated English Edition, Gordon and Breach, Philedelphia
2. [2] Zöschinger, H. 1975. Moduln die in jeder Erweiterung ein Komplement Haben. Mathematica Scandinavica, 35, 267-287
3. [3] Zöschinger, H. 1974a. Komplementierte Moduln über Dedekindringen. Journal of Algebra, 29, 42-56.
4. [4] Mohamed, S.H., Müller, B.J. 1990. Continuous and Discrete Modules. London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, Cambridge, UK
5. [5] Zhou, Y. 2000. Generalizations of Perfect, Semiperfect and Semiregular Rings. Algebra Colloquium, 7(3), 305-318.
6. [6] Sözen, Ö. E., Eren, Ş. 2018. Modules That Have a Generalized δ-Supplement in Every Cofinite Extension. JP Journal of Algebra Number Theory and Applications, 40(3).
7. [7] Koşan, M. T. 2007. δ-Lifting and δ-Supplemented Modules. Algebra Colloquium, 14(1), 53-60.
8. [8] Talebi, Y., Pour, M. H. 2009. On ⊕- δ-Supplemented Modules. Journal of Algebra Number Theory: Advances and Applications, 1(2), 89-97.

9. [9] Büyükaşık, E., Türkmen, E. 2012. Strongly Radical Supplemented Modules. Ukrainian Mathematical Journal, 63(8), 1306-1313.
10. [10] Türkmen, B. N., Pancar, A. 2013. Strongly Radical ⊕-Supplemented Modules. Ukrainian Mathematical Journal, 65(4), 612-622.
11. [11] Eryılmaz, F. 2017. Stronglt Generalized (Weakly) δ-Supplemented Modules. Vasile Alecsandri University of Bacau, Faculty of Sciences, Scientific Studies and Research, Series Mathematics and Informatics, 27(1), 21-32.
12. [12] Tribak, R., Talebi. Y., Hamzekolaei, A.R.M., Asgari, S. 2016. ⊕-Supplemented Modules Relative to an Ideal, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 45(1), 107-120.
13. [13] Tribak, R. 2012. Finitely Generated δ-Supplemented Modules are Amply δ-Supplemented. Bulletin of Australian Mathematical Society, 86, 430-439.
14. [14] Tribak, R. 2013. On δ-Local Modules and Amply δ-Supplemented Modules. Journal of Algebra and Its Applications, 12(2), 1250144.
15. [15] Lee, G., Rizvi, T. S., Roman, C. 2013. Modules Whose Endomorphism Rings are Von-Neuman Regular. Communications Algebra, 41(11), 4066-4088.