Vida Yüzeyi Üzerindeki Bir Görüntü Eğrisinin Frenet-Serret ve Darboux Çatıları

Abstract

Literatürde katı cisim hareketini tanımlayan dual kuaterniyonun nokta ve doğru üzerindeki etkileri incelenmiştir. Buradan hareketle bir yüzeyin noktalarına katı cisim hareketi uygulanarak  yeni bir yüzey elde edilebilir.  Bu çalışmada, 3-boyutlu Öklid uzayında bir  M yüzeyinin noktalarına katı cisim hareketinin özel hali olan vida hareketini uygulayarak bu yüzeye ait bir M^v vida yüzeyi oluşturulmuştur. M yüzeyi üzerindeki bir  eğrisinin Serret-Frenet ve Darboux çatılarına M^v vida yüzeyi üzerinde karşılık gelen çatılar elde edilmiştir. Bu çatılar  alpha eğrisinin  M^v vida yüzeyi üzerindeki görüntü eğrisine ait Serret-Frenet ve Darboux çatılarıdır. Daha sonra, görüntü eğrisine ait eğrilik, burulma, geodezik eğrilik, normal eğrilik ve geodezik burulma hesaplanıp alpha eğrisi ve bu eğriye ait görüntü eğrisinin hesaplanan bu kavramları arasındaki bağıntılar elde edilmiştir. 

Keywords

• Darboux çatısı,eğrilik,Frenet çatısı,katı cisim hareketi

Frenet-Serret and Darboux Frames of A Image Curve on A Screw Surface

Abstract

In literature, the action of the dual quaternion which described a rigid motion on a point and a line were investigated. Based on this idea one can obtain a new surface by applying the rigid motion to the points of a surface. In this paper, we generate a screw surface  M^v by applying the screw motion, a special case of the rigid motion, to the points of a surface M  in E³. In M^v, we obtain the frames which correspond to Serret-Frenet and Darboux frames of a curve alpha  on M. These frames are Serret-Frenet and Darboux frames of the image curve on M^v. Then, we calculate the curvature, torsion, geodesic curvature, normal curvature and geodesic torsion of the image curve of  the curve  alpha on the screw surface M^v and obtain the relationships between these notions of the curve  alpha and its image curve. 

Keywords

• Curvature,Darboux frame,Frenet frame,Rigid Transformation

References

1. Çöken A. C, Çiftçi Ü, Ekici C, 2008. On parallel timelike ruled surfaces with timelike rulings, Kuwait Journal of Science and Engineering 35.1A, 21.
2. Craig T, 1883. Note on Parallel Surfaces, Journal für die reine und angewandte Mathematik 94, 162-170.
3. Eisenhart L. P, 1909. A treatise on the differential geometry of curves and surfaces, Ginn.
4. Nizamoğlu S, 1986. Surfaces réglées paralleles, Ege Üniv. Fen Fak. Derg 9, 7-48.
5. Patriciu A. M, 2010. On some 1, 3H3-helicoidal surfaces and their parallel surfaces at a certain distance in 3-dimensional Minkowski space, Annals of the University of Craiova-Mathematics and Computer Science Series 37.4, 93-98.
6. Grey A, 1993. Modern differential geometry of curves and surfaces, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Ann Arbor.
7. Kühnel W, 2002. Differential Geometry, Student Mathematical Library, vol. 16. American Mathematical Society, Providence, 2002.
8. Lopez R, 2008. Differential geometry of curves and surfaces in Lorentz - Minkowski space, arXiv preprint arXiv: 0810.3351, 2008.

9. Ünlütürk Y, Özüsağlam E, 2013. On Parallel Surfaces In Minkowski 3-Space, TWMS J. App. Eng. Math., 3(2), 214-222.
10. Tarakçı Ö, Hacısalihoğlu H. H, 2004. Surfaces At A Constant Distance From The Edge Of Regression On A Surface, Applied Mathematics and Computation, 155, 81-93.
11. Sağlam D, Boyacıoğlu Kalkan Ö, 2010. Surfaces At A Constant Distance From Edge Of Regression On A Surface In , Differential Geometry-Dynamical Systems, 12, 187-200.
12. Sağlam D, Boyacıoğlu Kalkan Ö, 2013. The Euler Theorem and Dupin Indicatrix For Surfaces At A Constant Distance From Edge Of Regression On A Surface In , Matematiqki Vesnik, 65(2), 242-249.
13. Sağlam D, Boyacıoğlu Kalkan Ö, 2014. Conjugate tangent vectors and asymptotic directions for surfaces at a constant distance from edge of regression on a surface in . Konuralp Jornal of Mathematics (KJM) 2.1, 24-35.
14. Kemer Y, 2015. Eğri ve yüzeylerin kinematik geometrisi üzerine, Ph.D. thesis.
15. Selig J. M, Husty M, 2011. Half-turns and line symmetric motions. Mech. Mach. Theory 46(2) : 156-167.
16. Hacısalihoğlu H. H, 1983. Diferensiyel Geometri, İnönü Üniversitesi Fen-Edeb, Fakültesi Yayınları, Ankara.
17. Ru M, 1999. Lecture on Differential Geometry Part I., Huston University.
18. Sabuncuoğlu A, 2010. Diferensiyel Geometri, Nobel Yayıncılık.
19. Uras F, 1992. Diferensiyel Geometri Dersleri, Yıldız Teknik Üniversitesi Yayın Komisyonu.