A Note on the Relationship Between Knots and Dichromatic Polynomial

Abstract

Knot theory deals with how a circle or the disjoint union of circles can be embedded in R^3. Knots (or links) can be thought of topologically as circles embedded in space or geometrically as simple closed curves in space, however they can also be defined in a combinatorial sense. In other words, we can define the knots as equivalence classes of knot diagrams under an equivalence relation determined by certain diagrammatic movements. In this situation, it becomes much easier to manipulate (deform) the regular diagrams of the knots and their crossings. Based on these deformations, it becomes possible to define polynomials that are matched with specific coefficients. One of these special polynomials is the dichromatic polynomial. The definition of this polynomial has led to connections between knots and graph theory, as well as between nodes and fields such as physics and biology. This study examines information regarding these relationships. The situations mentioned are examined in detail, both structurally and through calculations based on a specific example.

Keywords

• Knot
• Link
• Graph
• Knot graph
• Dichromatic polynomial

Düğümler ve Dikromatik Polinom Arasındaki İlişkiye Dair Bir Not

Abstract

Düğüm teorisi, bir çemberin veya çemberlerin ayrık birleşiminin R^3 e nasıl gömülebileceğiyle ilgilenir. Düğümler (veya halkalar), topolojik olarak uzaya gömülü çemberler veya geometrik olarak uzayda basit kapalı eğriler olarak düşünülebilir, ancak kombinatoryal anlamda da tanımlanabilirler. Başka bir deyişle, düğümleri, belirli diyagramatik hareketlerle belirlenen bir denklik ilişkisi altında düğüm diyagramlarının denklik sınıfları olarak tanımlayabiliriz. Bu durumda, düğümlerin ve geçitlerinin düzenli diyagramlarını manipüle etmek (deforme etmek) çok daha kolay hale gelir. Bu deformasyonlara dayanarak, belirli katsayılarla eşleşen polinomlar tanımlamak mümkün hale gelir. Bu özel polinomlardan biri dikromatik polinomdur. Bu polinomun tanımı, düğümler ve graf teorisi arasında olduğu kadar, düğümler ve fizik ve biyoloji gibi alanlar arasında da bağlantılar kurulmasına yol açmıştır. Bu çalışma, bu ilişkilerle ilgili bilgileri incelemektedir. Bahsedilen durumlar, hem yapısal olarak hem de belirli bir örneğe dayalı hesaplamalar yoluyla ayrıntılı olarak incelenmektedir.

Keywords

• Düğüm
• Halka
• Graf
• Düğüm grafı
• Dikromatik polinom

References

1. Şahin A, Şahin B. Jones polynomial for graphs of twist knots. Applications and Applied Mathematics: An International Journal 2019;14(2):1269-1278.
2. Şahin A. Dichromatic polynomial for graph of a (2,n)-torus knot. Applied Mathematics and Nonlinear Sciences 2021;6(1): 397-402.
3. Şahin A. Coloring in graphs of twist knots. Numerical Methods for Partial Differential Equations 2022;38(4): 928-935.
4. Kawauchi A. A survey of knot theory. Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1996.
5. Bollobas B. Modern graph theory. Springer Science + Business Media, Inc, New York, 1998.
6. Yeşildağ T, Şahin A. Some characterizations for graphs of a class of knots. Filomat 2025;39(33):11931-11942.
7. Wikipedia Contributors [Internet]. Wikipedia, the free encyclopedia; 2026 [cited 2026 Jan 10]. Available from: https://en.wikipedia.org/wiki/Knot_tabulation
8. Dabrowski-Tumanski P. Knots, lassos, and links, topological manifolds in biological objects [Phd Thesis]. Warszawa: University of Warsaw; 2019.

9. Kauffman LH. New invariants in the theory of knots. American Mathematical Monthly 1988;95(3):195-242.
10. Bondy JA, Murty USR. Graph theory. Springer, New York, 2008.
11. Atay, B. Rupture degree of some wheel related graphs. Turkish Journal of Nature and Science 2025;14(2):144-149.
12. Adams CC. The knot book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. W. H. Freeman and Company, New York, 1994.
13. Kassenova T, Tsyba P, Razina, O. Investigation of partition function transformation for the Potts model into a dichromatic knot polynomial 74. Symmetry 2024;16(7),842.