Küme Kuramını Çoğul Mantıkla Sentezlemek: Çeşitli Yaklaşımlar, Felsefi Gerekçelendirmeleri ve Eleştirileri

Abstract

Zermelo-Fraenkel küme kuramı (ZFC) sıklıkla “matematiğin en genelgeçer/ortak temeli” olarak tanınmaktadır. Geleneksel olarak ZFC birinci derece mantığın sınırlarında formüle edilmiş ve çalışılmıştır. Yani ZFC alışılageldiği haliyle bir birinci derece kuramdır. Ancak 1970’li yıllardan beri giderek daha fazla mantık felsefecisi ve küme kuramcısı çeşitli nedenlerle küme kuramını ve matematiğin temellerini çalışmak için daha güçlü bir kuramın gerekliliğini savunmaktadır. Bu çerçevede şimdiye kadar en çok dile getirilen öneri ZFC’nin ikinci derece mantık dilinde formüle edilmiş bir biçimini benimsemek olmuştur. Ancak böyle bir formülasyonda ZFC bir saf küme kuramından ziyade bir sınıf-küme kuramı haline gelmektedir. Bu bağlamda son yıllarda sıkça tartışılan alternatif bir yaklaşım, küme kuramını çoğul mantıkla çalışmak ve hatta sentezlemektir. Çoğul mantıkla formüle edilmiş bir küme kuramının hem ikinci derece mantıkla formüle edilmiş ZFC’nin avantajlarını sağlayacağı hem de bunu bir sınıf-küme kuramı haline gelmeden başaracağı öngörülmektedir. Bu çalışma, çağdaş felsefi küme kuramı literatüründe daha yüksek derece küme kuramları için güçlenen talebin nedenlerini, küme kuramını çoğul mantıkla çalışma teklifinin nedenlerini, böyle bir sentezin önündeki çeşitli sorunları, bu sorunları çözmek için geliştirilen çeşitli stratejileri ve bunların felsefi gerekçelendirmelerini tanıtmaktadır. Ayrıca bu stratejilerin kısa bir eleştirisini de sunmaktadır.

Keywords

• Yinelemeli Küme Kavrayışı
• Boyut Sınırlamacı Küme Kavrayışı
• Fiilicilik
• Olasıcılık
• Çoğul Niceleme

Synthesizing Set Theory with Plural Logic: Various Approaches, Philosophical Justifications, and Critiques

Abstract

Zermelo-Fraenkel set theory (ZFC) is frequently recognized as “the most common foundation of mathematics”. Traditionally, ZFC has been formulated and studied within the confines of first-order logic. That is, ZFC in its widely accepted form is a first-order theory. However, since the 1970s, an increasing number of philosophers of logic and set theorists, for various reasons, have advocated for the necessity of a stronger theory to study sets and the foundations of mathematics. In this framework, the most frequently voiced proposal to date has been to adopt a formulation of ZFC in the language of second-order logic. Yet, in such a formulation, ZFC becomes a class-set theory rather than a pure set theory. In this context, an alternative approach frequently discussed in recent years is to study and even synthesize set theory with plural logic. It is anticipated that a set theory formulated with plural logic would both provide the advantages of second-order ZFC and achieve this without becoming a class-set theory. This study introduces the reasons for the growing demand for higher-order set theories in the contemporary literature of philosophical set theory, the motivations behind the proposal to study set theory with plural logic, the various obstacles to such a synthesis, the different strategies developed to resolve these issues, and their philosophical justifications. Additionally, it presents a brief critique of these strategies.

Keywords

• Iterative Conception of Set
• Limitation of Size Conception of Set
• Actualism
• Potentialism
• Plural Quantification

References

1. Boolos, G. “On Second-Order Logic,” The Journal of Philosophy 72, sayı: 16 (1975): 509-27.
2. Boolos, G. “To Be Is to Be a Value of a Variable (or to Be Some Values of Some Variables),” The Journal of Philosophy 81, sayı: 8 (1984): 430-49.
3. Boolos, G. “Reading the Begriffsschrift,” Mind 94, sayı: 375 (1985): 331-44.
4. Boolos, G. “Nominalist Platonism,” The Philosophical Review 94, sayı: 3 (1985): 327-44.
5. Burgess, J. P. “E Pluribus Unum: Plural Logic and Set Theory” in Mathematics, Models, and Modality: Selected Philosophical Essays, 104-35. Cambridge: Cambridge University Press, 2008.
6. Feferman, S. “Logic, Logics, and Logicism,” Notre Dame Journal of Formal Logic 40, sayı: 1 (1999): 31-54. https://doi.org/10.1305/ndjfl/1039096304
7. Florio, S. ve Ø. Linnebo. The Many and the One: A Philosophical Study of Plural Logic. Oxford: Oxford University Press, 2021.
8. Hamkins, J. D. Ve Ø. Linnebo. “The Modal Logic of Set-Theoretic Potentialism and the Potentialist Maximality Principles,” The Review of Symbolic Logic 15, sayı: 1 (2022): 1-31. https://doi.org/10.1017/S1755020320000401

9. İnam, Ahmet. “Kümeler Kuramı Üstüne Bazı Gözlemler.” Felsefe Dünyası sayı: 30 (1999): 3-8.
10. Kanamori, A. The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings. 2nd ed. Berlin: Springer, 2009. https://doi.org/10.1007/978-3-540-88867-3
11. Linnebo, Ø. “Pluralities and Sets," The Journal of Philosophy 107, sayı: 3 (2010): 144-64.
12. Maddy, P. "Proper Classes,” The Journal of Symbolic Logic 48, sayı: 1 (1983): 113-39.
13. Oliver, A. ve T. Smiley. Plural Logic. Oxford: Oxford University Press, 2013.
14. Quine, W. V. Methods of Logic. 4th ed. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1982.
15. Quine, W. V. O. From a Logical Point of View: Logico-Philosophical Essays. 2nd rev. ed. New York: Harper & Row, 1961.
16. Rayo, A. ve G. Uzquiano. “Toward a Theory of Second-Order Consequence,” Notre Dame Journal of Formal Logic 40, sayı: 3 (1999): 315-25.
17. Shapiro, S. “Second-Order Languages and Mathematical Practice,” The Journal of Symbolic Logic 50, sayı: 3 (1985): 714-42. https://doi.org/10.2307/2274328
18. Shapiro, S. Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic. Oxford: Clarendon Press, 1991.
19. Sutto, D. “The Plural Iterative Conception of Set,” Journal for the Philosophy of Mathematics 2 (2025): 161-93. https://doi.org/10.36253/jpm-3549
20. Väänänen, J. “Second-Order and Higher-Order Logic” in The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Editörler: Edward N. Zalta ve Uri Nodelman. Winter 2024 Edition. Stanford University, 2024. https://plato.stanford.edu/archives/win2024/entries/logic-higher-order/
21. Woodin, W. H. “In Search of Ultimate-L: The 19th Midrasha Mathematicae Lectures,” The Bulletin of Symbolic Logic 23, sayı: 1 (2017): 1-109.
22. Yablo, Stephen. “Circularity and Paradox” in Self-Reference, EditörleR: T. Bolander, V. F. Hendricks ve S. A. Pedersen, 165-85. Stanford: CSLI Publications, 2006.
23. Zermelo, E. “On Boundary Numbers and Domains of Sets: New Investigations in the Foundations of Set Theory” in Collected Works / Gesammelte Werke: Vol. 1. Set Theory, Miscellanea / Mengenlehre, Varia, Editörler: H.-D. Ebbinghaus ve A. Kanamori, 401-31. Berlin: Springer, 2010. https://doi.org/10.1007/978-3-540-79384-7