Özel Sayı Dizileri ile Üretilen Pisagor Üçlülerinin Analizi

Öz

Bu çalışmada, Euclid’in klasik Pisagor üçlüsü oluşturma yöntemi beş farklı özel sayı dizisine (Tribonacci, Narayana, Perrin, Padovan ve Catalan) uygulanmış ve elde edilen sonuçlar analiz edilmiştir. Özel sayı dizilerine ait ardışık terimler ile elde edilen (x, y, z) Pisagor üçlüleri; ilkellik, asallık ve geometrik özellikler açısından karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Hesaplamalar Python programı ile yapılmış, OBEB değerleri Öklid algoritması ile, asallık testleri bölme yöntemiyle belirlenmiştir. Yapılan analizler, Tribonacci ve Perrin sayı dizilerinin en yüksek ilkel üçlü oranına sahip olduğunu göstermektedir. Catalan dizisinin diğer sayı dizilerinden daha yüksek OBEB ortalaması ve düşük ilkellik oranıyla ayrıştığını göstermektedir. Asallık analizinde (x, y, z) bileşenlerinden x’in hiç asal üretmediği; z bileşeninin y bileşenine göre daha sık asal değer ürettiği tespit edilmiştir. Narayana dizisinin OBEB dağılımı ve yüksek asal oranı nedeniyle uygulamalar açısından diğer sayı dizilerine göre daha avantajlı olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Genel olarak, Pisagor üçlüsü üretiminde sayı dizilerinin yapısal özelliklerinin belirleyici bir etkiye sahip olduğu ortaya konmuştur. Bu açıdan özel sayı dizilerinin aritmetik ve geometrik özelliklerinin birlikte incelenmesine yönelik yeni bakış açıları sunmaktadır. Çalışmanın, Sayılar Teorisi alanı başta olmak üzere Kriptografi alanlarına katkı sağlaması düşünülmektedir.

Anahtar Kelimeler

• Özel sayı dizisi
• Pisagor üçlüsü
• Sayılar teorisi
• Asallık analizi
• İlkellik testi

Etik Beyan

Bu çalışmanın tüm hazırlanma süreçlerinde etik kurallara uyulduğunu yazarlar beyan eder. Aksi bir durumun tespiti hâlinde Avrasya Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi’nin hiçbir sorumluluğu olmayıp, tüm sorumluluk çalışmanın yazarlarına aittir.

Analysis of Pythagorean Triples Generated by Special Number Sequences

Öz

In this study, Euclid's classical method for generating Pythagorean triples was applied to five special number sequences (Tribonacci, Narayana, Perrin, Padovan, and Catalan), and the results were analyzed. The (x, y, z) Pythagorean triples derived from consecutive terms of these sequences were comparatively examined in terms of primality, primitivity, and geometric properties. Computations were performed via a Python program, determining GCD values with the Euclidean algorithm and conducting primality tests through the trial division method. The analyses indicate that the Tribonacci and Perrin sequences possess the highest ratio of primitive triples. The Catalan sequence distinguishes itself with a higher average GCD and a lower primitivity ratio. In the primality analysis, the x-component never yields a prime, whereas the z-component produces prime values more frequently than the y-component. Due to its GCD distribution and high prime ratio, the Narayana sequence is more advantageous for applications. Overall, structural characteristics of number sequences decisively impact Pythagorean triple generation, contributing to Number Theory and Cryptography.

Anahtar Kelimeler

• Special number sequences
• Pythagorean triples
• Number theory
• Primality analysis
• Primitiveness test

Etik Beyan

The authors declare that ethical rules are followed in all preparation processes of this study. In the case of a contrary situation, Avrasya University Science and Engineering Journal has no responsibility, and all responsibility belongs to the study's authors.

Kaynakça

1. Allouche, J. P., & Johnson, T. (1996). Narayana's cows and delayed morphisms. Journées d'Informatique Musicale.
2. Austin, J., & Schneider, L. (2020). Generalized Fibonacci sequences in Pythagorean triple preserving matrices. The Fibonacci Quarterly, 58(4), 340–349.
3. Bravo, E., & Irmak, N. (2024). The 2-adic valuation of shifted Padovan and Perrin numbers and applications. Turkish Journal of Mathematics, 48(6), 1183–1196.
4. Cofman, J. (1997). Catalan numbers for the classroom? Elemente der Mathematik, 52(3), 108–117.
5. Demirci, M. (2002). Fermat’ın Son Teoreminin uygulama alanları [Yayınlanmamış yüksek lisans tezi]. Uludağ Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Bursa.
6. Dorado, A. E., & Bravo, J. J. (2026). Diophantine quadruples with values in the Padovan and Perrin sequences. Lithuanian Mathematical Journal.
7. Feinberg, M. (1963). Fibonacci-Tribonacci. The Fibonacci Quarterly, 1(1), 71–74.
8. Koshy, T. (2019). Fibonacci and Lucas numbers with applications (Vol. 2). John Wiley & Sons.

9. Leyendekkers, J. V., & Shannon, A. G. (2012). Odd powered triples and Pellian sequences. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 18(3), 8-12.
10. Perrin, R. (1899). Query 1484. L’Intermédiaire des Mathématiciens, 6, 76–77.
11. Posamentier, A. S. (2010). The Pythagorean theorem: The story of its power and beauty. Prometheus Books.
12. Sierpiński, W. (1988). Elementary theory of number PWN-Polish Scientific Publishers
13. Stewart, I. (1996). Tales of a neglected number. Scientific American, 274(6), 92–93.
14. Şenay, H. (2007). Sayılar Teorisi Dersleri (1. baskı). Selçuk Üniversitesi Yayınları-Konya.