Riemannian Curvature of a Sliced Contact Metric Manifold

Abstract

Contact geometry become a more important issue in the mathematical world with the works which had done in the 19th century. Many mathematicians have made studies on contact manifolds, almost contact manifolds, almost contact metric manifolds and contact metric manifolds. Many different studies have been done and papers have been published on Sasaki manifolds, Kähler manifolds, the other manifold types and submanifolds of them. In our  previous studies we get the characterization of indefinite Sasakian manifolds. In order to get the characterization of indefinite Sasakian manifolds, firstly we defined sliced contact metric manifolds and then we examined the features of them. As a result we obtain a sliced almost contact metric manifold which is a wider class of almost contact metric manifolds. Thus, we constructed a sliced which is a contact metric manifold on an almost contact metric manifold where the manifold  is not a contact metric manifold. Sliced almost contact metric manifolds generalized the almost contact metric manifolds. Then, we study on the sliced Sasakian manifolds and the submanifolds of them. Moreover we analyzed some important properties of the manifold theory on sliced almost contact metric manifolds.

In this paper we calculated the -sectional curvature and the Riemannian curvature tensor of the sliced almost contact metric manifolds. Hence we think that all these studies will accelerate the studies on the contact manifolds and their submanifolds. 

Keywords

• contact geometry,sectional curvature,riemannian curvature,Sliced almost contact metric manifolds,Sliced contact metric manifolds

Bir Dilimlenmiş Kontak Metrik Manifoldun Riemann Eğriliği

Abstract

Kontak geometri 19. yüzyılda yapılan çalışmalar sonucunda gittikçe artan bir öneme sahip olmuştur. Birçok matematikçi kontak manifoldlar, hemen hemen kontak manifoldlar, hemen hemen kontak metrik manifoldlar ve kontak metrik manifoldlar üzerine çalışmalar yapmışlardır. Ayrıca, Sasaki manifoldların, Kähler manifoldların ve diğer manifold türlerinin lightlike altmanifoldları üzerine çok sayıda çalışma yapılmış ve farklı makaleler yayımlanmıştır.Yapılan önceki çalışmamızda belirsiz Sasaki manifoldların karakterizasyonunu elde ettik. Bu karakterizasyonu yapmak için önce dilimlenmiş kontak metrik manifoldlar tanımladık ve özelliklerini inceledik. Sonuç olarak, kontak metrik manifoldların ve diğerlerinin daha geniş bir sınıfı olan dilimlenmiş hemen hemen kontak metrik manifoldları elde ettik. Böylece, kontak metrik manifold olmayıp hemen hemen kontak metrik manifold olan bir manifold üzerinde kontak metrik manifold olacak şekilde bir dilim oluşturduk. Dilimlenmiş hemen hemen kontak metrik manifoldlar, hemen hemen kontak metrik manifoldları genelleştirmiştir. Daha sonra dilimlenmiş Sasaki manifoldları ve bu manifoldların altmanifoldlarını çalıştık. Ayrıca, dilimlenmiş hemen hemen kontak metrik manifoldlarda manifoldlar teorisinin bazı önemli özelliklerini inceledik.

Bu makalede ise dilimlenmiş kontak metrik manifoldların -kesitsel eğriliği ile Riemann eğrilik tensörünü hesapladık. Böylece bu çalışmaların kontak manifoldlar ve onların altmanifoldları üzerine çalışmalara yeni bir ivme kazandıracağını düşünüyoruz.  

Keywords

• dilimlenmiş hemen hemen kontak metrik manifoldlar,dilimlenmiş kontak metrik manifoldlar,desitsel eğrilik,kontak geometri,riemann eğriliği

References

1. Blair D.E., 1976, Contact Manifolds in Riemannian Geometry, Lecture Notes in Math. Vol. 509, Springer-Verlag.
2. Blair D. E., 2002, Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds, Progressin Mathematics 203. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA.
3. Boothby W.M., 1986, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press.
4. Camcı Ç., 2007, A Curve Theory in Contact Geometry, Ph. D. Thesis, Ankara University, Ankara.
5. Chen B., 1973, Geometry of Submanifolds, Marcel Dekker, Inc., New York, Pure and Applied Mathematics, No. 22.
6. Gray J., 1959, Some Global Properties of Contact Structures, Ann. of Math., 69, 421-450.
7. Gümüs M., 2018, A New Construction Of Sasaki Manifolds In Semi-Riemann Space and Applications, PhD. Thesis, Çanakkale Onsekiz Mart University, Çanakkale.
8. Ogiue K., 1964, On Almost Contact Manifolds Admitting Axiom of Planes or Axiom of Free Mobility, Kodai Math., 16, 223-232.

9. Olszak Z., 1986, Normal Almost Contact Metric Manifolds of Dimension Three, Ann. Polon. Math., XLVII, 41-50.
10. Sasaki S. and Hatakeyama Y., 1962, On Differentiable Manifolds With Contact Metric Structures, J. Math. Soc. Japan, 14, 249-271.
11. Yano K. and Kon M., 1984, Structures on Manifolds, World Scientific.