Overcoming the intuitive rule of three: improving the false direct and inverse proportion

Abstract

This article analyzes the teaching of the rule of three and its application in solving mathematical problems involving magnitudes. It is also called direct and inverse proportion. It questions traditional didactics, which rely on intuition, arguing that they omit mathematical justification and lead to conceptual errors. It is proposed an alternative method based on the "First Algebra of Magnitudes", introducing a more rigorous and logical approach. The study highlights how current teaching methods fail to adequately operate physical magnitudes by deleting the magnitudes of operations, leading to the "arithmetization of physics". Traditional resolution methods (unit reduction, proportions, and practical methods) are criticized for their lack of logical foundation. The proposed new method structures reasoning through the algebraic formalization of magnitudes and demonstrates its effectiveness with an empirical study conducted on 97 students. A compound rule of three problem is presented, and different approaches are compared, concluding that the method based on the First Algebra of Magnitudes is more precise and logical. The article emphasizes the need to rethink the teaching of proportionality in mathematics to avoid mechanical and intuitive procedures and promote learning based on deduction and a deep understanding of the relationships between magnitudes.

Keywords

• rule of three
• direct proportion
• inverse proportion
• mathematics education

References

1. Albarracín, L. y Gorgorió, N. (2013). “Problemas de estimación de magnitudes no alcanzables: estrategias y éxito en la resolución”. PNA, 7(3), pp. 103-115.
2. Arnaiz, J. M. (2017). Primera álgebra de magnitudes: La nueva Física. Escuela de las Luces.
3. Arnaiz, J. M. (2021). La nueva Física, Newton es el único que ha evitado la trampa de «aritmetizar» la Física. Einstein se equivocó de raíz. Escuela de las Luces.
4. Arnaiz, J. M. (2021). The new Physics I: First Algebra of Magnitudes. LAP LAMBERT Academic Publishing.
5. Artés, M.; Badillo, E.; Blanco, J. J.; Bruno, A.; Callejo, M. L.; Camacho, M.; Contreras, L. C.; Cárdenas, J. A.; Carrillo, J.; Climent, N.; Diego, J. M.; Escudero, D. I.; Fernández, C.; Fernández, T.; Flores, E.; Fortuny, J. M.; Gomes, J.; González, M. T.; Gutiérrez, A.; Hernández, J.; Huerta, P.; Jaime, A.; Llinares, S.; Montes, M. A.; Moreno, M.; Ortega, T.; Planas, N.; Rodríguez, R.; Rojas, N.; y Socas, M. (2016). Capítulo 6: Magnitudes y proporcionalidad. En Carrillo Yáñez, J.; Contreras González, L. C.; Climent Rodríguez, N.; Montes Navarro, M. A.; Escudero Ávila, D. I y Flores Medrano, E. (Eds.) Didáctica de las matemáticas para maestros de educación primaria. Colección Didáctica y Desarrollo, pp. 135-168. Ediciones Paraninfo.
6. Bails, B. (1805). Principios de Matemática de la Real Academia de San Fernando. Tomo I. Cuarta edición, añadida. En la Imprenta de la hija de D. Joaquín Ibarra.
7. Galdós, L. (2000). Matemáticas Galdós. Madrid: Cultural, S.A.
8. García Escribano, S. y Resano Arenzana, A. (2015). Matemáticas y ortografía para oposiciones. Ediciones Rodio.

9. García, M. y Ortega, P. (2016), Matemáticas aplicadas, 4.º ESO, Luis Vives.
10. Gómez Alonso, B. (2006). Los ritos de la enseñanza de la regla de tres. En Maz Machado, A.; Torralbo Rodríguez, M y Rico Romero, L., José Mariano Vallejo, el matemático ilustrado. Una mirada desde la educación matemática, pp. 49-69. Publicaciones Universidad de Córdoba.
11. González Ortiz, A. (2020). Competencia clave: Competencia Matemática. Ediciones Paraninfo.
12. Grence Ruiz, T. (Dir.), autor desconocido (2023). Matemáticas. Enseñanzas aplicadas. Santillana Educación.
13. Ibáñez Freire, C. y Martínez Juste, S. (2020). “Proporcionalidad aritmética en libros de texto de 4.º ESO”, SUMA, n.º 95, pp. 51-58.
14. Libro sin autor (1982). Matemáticas. Regla de tres. SENA (Servicio Nacional de Aprendizaje, Ministerio de Trabajo y Seguridad Social).
15. Libro sin autor (2011). Matemáticas 7. Segundo semestre. IGER (Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica).
16. Llanos Vaca, L. y Moraleda Luna, B (2022). Ciencias Aplicadas I. CFGB. Editex.
17. Martínez Juste, S.; Muñoz Escolano, J. M. y Oller Marcén, A. M. (2015), “Un estudio comparativo sobre la proporcionalidad compuesta en libros de texto españoles de Educación Secundaria Obligatoria durante LOGSE-LOE-LOMCE”, AIEM – Avances de Investigación en Educación Matemática, n.º 8, pp. 95-115.
18. Mira, R. (2016). Matemáticas enseñanzas aplicadas 4.º ESO, Santillana Educación, Madrid.
19. Mochón Cohen, S. (2012). Enseñanza del razonamiento proporcional y alternativas para el manejo de la regla de tres. Educación matemática, vol. 24 n.º 1, pp. 133-157.
20. Moya, P. y Zuasti, N. (2022). Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas: 4.º ESO, Textos Marea Verde
21. Postigo García, L. (1998). Matemáticas Sopena. Editorial Ramón Sopena, S.L.
22. Segovia Álex, I. y Rico Romero, L. (2015). Matemáticas para maestros de Educación Primaria. Ediciones Pirámide.
23. Silvestre, A. I. y da Ponte, J. P. (2012). “Missing value and comparison problems: What pupils know before the teaching proportion”. PNA, 6(3), pp. 73-83.
24. Vallejo, C. y Fuentes, B. (2016), Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas 4.º ESO, Grupo Anaya.
25. Volera, J. y Gaztelu, I. (2014). Matemáticas. Educación Secundaria. Grupo Anaya.