NULL CARTAN CURVES IN STRICT WALKER THREE-MANIFOLDS

Öz

In this paper, we study null Cartan curves in strict Walker three-manifolds on intervals where their tangent is not proportional to the distinguished parallel null vector field. On such intervals, a null curve is determined locally by its transverse coordinate. An adapted null frame yields a scalar function $\varphi=y''-\frac12 f_y$ that governs the acceleration and the Cartan frame. We determine the pseudo-arc parameter and Cartan curvature explicitly in terms of $\varphi$ and characterize the curves with vanishing Cartan curvature. A local correspondence with null Cartan curves in Minkowski three-space preserves the pseudo-arc parameter and curvature. We also construct curves with any prescribed smooth Cartan curvature through an arbitrary point and describe the resulting equations for plane-wave profiles. Examples illustrate these results in flat and non-flat strict Walker metrics.

Anahtar Kelimeler

• Walker manifold
• null curve
• Cartan frame
• pseudo-arc parameters
• null helix

NULL CARTAN CURVES IN STRICT WALKER THREE-MANIFOLDS

Öz

Bu çalışmada, strict Walker üç-manifoldlarında, teğet vektörleri ayırt edilmiş paralel null vektör alanıyla orantılı olmayan aralıklar üzerinde null Cartan eğrileri incelenmektedir. Bu aralıklarda bir null eğri, transversal koordinatı aracılığıyla yerel olarak belirlenmektedir. Uyarlanmış bir null çatı yardımıyla, ivmeyi ve Cartan çatısını belirleyen \(\varphi=y''-\frac12 f_y\) skaler fonksiyonu elde edilmektedir. Pseudo-arc parametresi ve Cartan eğriliği, \(\varphi\) cinsinden açık olarak hesaplanmakta ve Cartan eğriliği sıfır olan eğriler karakterize edilmektedir. Minkowski üç-uzayındaki null Cartan eğrileriyle pseudo-arc parametresini ve Cartan eğriliğini koruyan yerel bir karşılıklılık kurulmaktadır. Ayrıca, verilen herhangi bir düzgün Cartan eğrilik fonksiyonuna sahip eğriler, seçilen herhangi bir noktadan geçecek şekilde yerel olarak inşa edilmekte ve plane wave metrikleri için elde edilen denklemler incelenmektedir. Son olarak, düz ve düz olmayan strict Walker metriklerinde verilen örneklerle sonuçlar açıklanmaktadır.

Anahtar Kelimeler

• Walker manifold
• null eğri
• Cartan çatı
• pseudo-arc parametresi
• null helis

Kaynakça

1. W. B. Bonnor, Null curves in a Minkowski space-time, Tensor (N.S.), Vol.20, pp.229–242 (1969).
2. M. Brozos-Vázquez, E. Garcı́a-Rı́o, P. Gilkey, S. Nikčević and R. Vázquez-Lorenzo, The Geometry of Walker Manifolds, Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics, Morgan & Claypool, 2009.
3. E. H. B. Camara and A. Ndiaye, Family of surfaces with common geodesic in a Walker 3-manifold, Palestine Journal of Mathematics, Vol.15, N.1, pp.273–283 (2026).
4. E. H. B. Camara, A. Niang, A. Ndiaye and A. Thiandoum, Surfaces in a strict Walker 3-manifold that contain non-null curves with zero torsion, arXiv:2507.22261 (2025).
5. M. Chaichi, E. Garcı́a-Rı́o and M. E. Vázquez-Abal, Three-dimensional Lorentz manifolds admitting a parallel null vector field, Journal of Physics A: Mathematical and General, Vol.38, N.4, pp.841–850 (2005), doi:10.1088/0305-4470/38/4/005.
6. P. A. Cisse, M. E. Bodian and A. Ndiaye, Ruled surfaces with constant curvatures in a strict Walker 3-manifold, Facta Universitatis, Series: Mathematics and Informatics, Vol.40, N.2, pp.455–469 (2025), doi:10.22190/FUMI241218034C.
7. A. Ferrández, A. Giménez and P. Lucas, Null helices in Lorentzian space forms, International Journal of Modern Physics A 16 (30), 4845–4863 (2001).
8. J. L. Flores and M. Sánchez, Causality and conjugate points in general plane waves, Classical and Quantum Gravity, Vol.20, N.11, pp.2275–2291 (2003), doi:10.1088/0264-9381/20/11/322.

9. A. G. Walker, Canonical form for a Riemannian space with a parallel field of null planes, The Quarterly Journal of Mathematics, Vol.1, pp.69–79 (1950), doi:10.1093/qmath/1.1.69.