İki Boyutlu Sığ Akım Denklemlerinin Sırasız Ağda Sayısal Çözümü için Bilgisayar Yazılımı Geliştirilmesi

Abstract

 Bu çalışmada, iki boyutlu Sığ Akım Denklemleri’nin (SAD) sırasız ağ üzerinde sayısal çözümü için özgün bir yazılım geliştirilmiştir. Geliştirilen yazılım bazı ölçüt problemler için koşturularak test edilmiştir. Sayısal yöntem sırasız üçgensel bir çözüm ağı üzerinde hücre merkezli sonlu hacim yöntemine dayanmaktadır. Süreklilik ve momentum denklemlerindeki akı hesabı için ikinci derece doğruluklu Ağırlık Ortalamalı Akı (Weighted Average Flux, WAF) yöntemi kullanılmıştır. Sığ akım denklemlerinin en belirgin özelliği su yüzeyinde oluşabilecek şok dalgalarından kaynaklanan süreksizliklerdir. Sayısal yöntemin şok dalgalarını ayrıntılı bir şekilde tanımlayabilmesi ve hücreler arası akı hesabında akı sınırlayıcılarını kullanmaya olanak vermesi için WAF yöntemi HLLC Riemann çözücüleriyle birleştirilmiştir. Ayrıca, ikinci dereceden doğruluklu sayısal çözüm nedeniyle oluşabilecek sayısal salınımları söndürmek için de Toplam Salınım Azaltma (Total Variation Diminishing, TVD) teorisinden faydalanılmıştır. Literatürde sıralı çözüm ağları için mevcut olan ara-yüz akı sınırlayıcı fonksiyonlarının içerdiği rüzgar yönlü değişimlerin yerel değişimlere oranı, sırasız çözüm ağları için ilk kez tanımlanmış ve yeni gradyan yaklaşımlarıyla beraber kullanılabilir hale getirilmiştir. Test sonuçları, sayısal yöntemin ve geliştirilen yazılımın doğru çalıştığını ve gerçek problemlere uygulanabilirliğini göstermektedir.

Keywords

• sığ akım denklemleri,sırasız ağ,ağırlık ortalamalı akı yöntemi,HLLC Riemann çözücüsü

Computer Code Development for the Numerical Solution of Two Dimensional Shallow Flow Equations on Unstructured Grid

Abstract

In this paper a novel computer code is developed for numerical solution of two dimensional shallow flow equations on unstructured grid. The code is tested by running on some benchmark problems. The numerical method is based on a cell centered finite volume method applied on an unstructured triangular mesh. Weighted Averaged Flux (WAF) method is used for the computation of the fluxes in continuity and momentum equations. The most prominent property of the shallow flow equations is the discontinuities due to shock waves occuring on the free surface of the flow. Therefore, WAF is combined with HLLC Riemann solvers in order to make the method capable to describe the shock waves and also have the opportunity to use flux limiters in the computation of the intercell fluxes. Besides, the Total Variation Diminishing (TVD) theory is utilized for smoothing the oscillations which may occur due to the second order accuracy of the numerical solution. The ratio of the upwind to local variations involved in the interface flux limiter functions available in the literature for the structured grid systems is described here for the first time for the unstructured grids and it is made usable with the new gradient approach. Test results show that the numerical method and the code developed are successful and can be applied to real cases. 

Keywords

• shallow flow equations,unstructured grid,weighted averaged flux method,HLLC Riemann solver

References

1. E.F. Toro, "Riemann Problems and the WAF Method for Solving the Two-Dimensional Shallow Water Equations," Philosophical Transactions: Physical Sciences and Engineering, vol. 338, no. 1649, pp. 43-68, 1992.
2. S. J. Billett and E. F.Toro, "On WAF-Type Schemes for Multidimensional Hyperbolic Conservation Laws," Journal of Computational Pyhsics, vol. 130, pp. 1-24, 1997.
3. C. Zoppou and S. Roberts, "Numerical solution of the two-dimensional unsteady dam break," Applied Mathematical Modelling, vol. 24, pp. 457-475, 2000.
4. D.H. Kim, Y.S. Cho, A.M.ASCE, and W.G. Kim, "Weighted Averaged Flux-Type Scheme for Shallow-Water Equations with Fractional Step Method," Journal of Engineering Mechanics, 2004, 130(2): 152-160, vol. 130, no. 2, pp. 152-160, 2004.
5. W.D. Guo, J.S. Lai, and G.F. Lin, "Finite-volume multi-stage schemes for shallow-water flow," International Journal for Numerical Methods in Fluids 2008; 57:177–204, vol. 57, pp. 177-204, 2008.
6. K. Anastasiou and C.T. Chan, "Solution of the 2D shallow water equations using the finite volume method on unstructured triangular meshes," International Journal for Numerical Methods in Fluids , vol. 24, pp. 1225-1245, 1997.
7. D. Pan and J. Cheng, "A second-order upwind finite-volume method for the Euler solution on unstructured triangular meshes," International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 16, pp. 1079-1098, 1993.
8. J.Hou, Q. Liang, H.Zhang, and R. Hinkelmann, "An efficient unstructured MUSCL scheme for solving the 2D shallow water equations," Environmental Modelling & Software, vol. 66, pp. 131-152, 2015.

9. T.H. Yoon, F. ASCE, and S.K. Kang, "Finite volume model for two-dimensional shallow flows on unstructured grids," Journal of Hydraulic Engineering , vol. 130, no. 7, pp. 678-688, 2004.
10. C. Zoppou, M.ASCE, and S. Roberts, "Explicit schemes for dam-break simulations," Journal of Hydraulic Engineering, vol. 129, pp. 11-34, 2003.
11. P.O. Persson and G. Strang, "A simple mesh generator in matlab," SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics, vol. 46, no. 2, pp. 329-345, 2004.
12. E. F. Toro, Shock-capturing methods for free-surface shallow flows, Chichester: John Wiley & Sons, Ltd, 2001, pp. 15-24.
13. E.F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.
14. H.K. Versteeg and W. MalalaSekera, An introduction to computational fluid dynamics, the finite volume method, Pearson: Prentice Hall, 2007, pp. 321-329.
15. S. Tu and S. Aliabadi, "A slope limiting procedure in discontinuous galerkin finite element method for gasdynamics applications," International Journal for Numerical Analysis and Modeling, vol. 2, no. 2, pp. 163-178, 2005.
16. T. Hino, L. Martinelli and A. Jameson, "A finite volume method with unstructured grid for free surface flow simulations," in Sixth International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, Tokyo, Japan, 1993.
17. R.J. Fennema and M.H. Chaudhry, "Explicit methods for 2D transient free-surface flows," Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, vol. 116, pp. 1013-1034, 1990.
18. F. Alcrudo and P. Garcia-Navarro, "A high-resolution godunov-type scheme in finite volumes for the 2D shallow-water equations," International Journal for Numerical Methods in FLuids, VOL. 16,489-505 (1993), vol. 16, pp. 489-505, 1993.
19. L.A. Monthe, F. Benkhaldoun, and I. Elmahi, "Positivity preserving finite volume Roe schemes for transport-diffusion equations," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 178, pp. 215-232, 1999.
20. Youssef Loukili and Azzeddine Soulaimani, "Numerical tracking of shallow water waves by the unstructured finite volume WAF Approximaton," International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics, vol. 8, pp. 1-14, 2007.