Yıl 2019, Cilt 14 , Sayı 2, Sayfalar 418 - 435 2019-11-30

Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem
A Meshless Method for the Coupled Nonlinear Schrödinger Equations

Bahar KARAMAN [1] , Yılmaz DERELİ [2]


Bu çalışma ağsız bir yöntem olan radyal tabanlı fonksiyonlarla kollokasyon (RBFC) yöntemi ile lineer olmayan ikili Schrödinger denklemlerinin (CNLS) sayısal çözümlerinin elde edilmesi üzerinedir. Zaman ayrıştırması için ileri fark ve kalan terimler içinde fonksiyonun ardışık zaman adımındaki ortalama değerleri kullanılmıştır. CNLS denklemi için kullanılan yöntemin kararlılık analizi incelemesi Von-Neumann kararlılık metodu kullanılarak yapılmıştır. Metodun geçerliliğini göstermek için tek soliton dalga hareketi ve iki solitonun etkileşimini içeren dört farklı test problemi ele alınmıştır. Her bir test problemi için sayısal sonuçlar grafikler ve tablolar yardımıyla gösterilmiştir. Ayrıca önerilen yöntemin geçerliliğini, verimliliğini ve etkinliğini göstermek için elde edilen sayısal sonuçlar analitik ve literatürde var olan sonuçlar ile karşılaştırılmıştır.

The current investigation studies a meshfree method based on radial basis functions collocation method (RBFC) to obtain numerically solutions of the coupled nonlinear Schrödinger (CNLS) equations. Forward difference is used for the temporal discretization and the average value of the function in consecutive time step is used for other terms. The stability analysis of the proposed method is investigated by using Von-Neumann stability technique for the governing equations. To accuracy of the proposed method, test problems which include the single soliton motion and two interaction are used. For every test problems, all obtained numerical results are presented in tables and figures. The obtained numerical experiments are compared with analytical and published numerical solutions to confirm the accuracy and efficiency of the suggested scheme.

  • [1] G. R. Liu, Mesh free Methods: Moving Beyond the Finite Element Method, CRC Press. R. W., 2003.
  • [2] X. Hu, L. Zhang, “Conservative compact difference scheme for the coupled nonlinear Schrödinger equation system,” Numer. Methods Partial Differ. Eq., 30, 749-772, 2014.
  • [3] M. İsmail, T. Taha, “Numerical simulation of coupled nonlinear Schrödinger equation,” Math. Comput. Sim., 56, 547-562, 2001.
  • [4] M. İsmail, S. Alamri, “Highly accurate finite difference method for coupled nonlinear Schrödinger equation,” Comput. Math. Appl., 81, 333-351, 2004.
  • [5] M. İsmail, T. Taha, “A linearly implicit conservative scheme for the coupled nonlinear Schrödinger equation,” Math. Comput. Sim., 74, 302-311, 2007.
  • [6] A. Kurtianitis, F. Ivanauska, “Finite difference solution methods for a system of the nonlinear Schrödinger equations,” Nonlinear Anal. Model. Control, 9 (3), 247-258, 2004.
  • [7] B. Reichel, S. Leble, “On convergence and stability of a numerical scheme of coupled nonlinear Schrödinger equations,” Comput. Math. Appl. 55, 745-759, 2008.
  • [8] J. Sun, X. Gu ve Z. Ma, “Numerical stuy of the soliton waves of the coupled nonlinear Schrödinger system,” Phys. D, 196, 311-328, 2004.
  • [9] Z. Sun, D. Zhao, “On the L_∞ convergence of a difference scheme for coupled nonlinear Schrödinger equations,” Comput. Math. Appl., 59, 3286-3300, 2010.
  • [10] T. Wang, T. Nie ve L. Zhang, “Analysis of a symplectic difference scheme for a coupled nonlinear Schrödinger system,” J. Comput. Appl. Math., 231, 745-759, 2009.
  • [11] J. Chen ve L. Zhang. Numerical approximation of solution for the coupled nonlinear Schrödinger equations. Acta Math. Sin., 33, 435-450, 2017.
  • [12] A. Kaplan ve Y. Dereli. “A meshless method and stability analysis for the nonlinear Schrödinger equation,” Waves Random Complex Media, 27(4), 602-614, 2017.
  • [13] Y. Dereli. “The meshless kernel-based method of lines for the numerical solution of the nonlinear Schrödinger equation” Eng. Anal. Bound. Elem., 36, 1416-1423, 2012.
  • [14] R. L. Hardy, R.L, “Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces,” J. Geophys. Res., 76, 1905-1915, 1971.
  • [15] R, Franke, “Scattered data interpolation: Tests of some methods,” Math. Comp., 38, 181-200, 1982.
  • [16] W. R. Madcy ve S. A. Nelson, “Multivariable interpolation and conditionally positive definite functions II,” Math. Comput., 54, 211-230, 1990.
  • [17] C. A. Micchelli, “Interpolation of scattered data: distance matrix and conditionally positive definite functions,” Construct. Approx., 2, 11-22, 1986.
  • [18] E. J. Kansa, “Multiquadrics scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics, II: Solutions to hyperbolic, parabolic and elliptic partial differential equations,” Comput. Math. Appl., 19, 149-161, 1990.
  • [19] C. Franke ve R. Schaback, “Solving partial differential equations by collocation with radial basis functions,” Appl. Math. Comput., 93, 73-82, 1998.
  • [20] C. Franke ve R. Schaback,” Convergence order estimates of meshless collocation methods using radial basis functions,” Adv. Comput. Math., 8, 381-399, 1998.
  • [21] Z. Wu ve R. Schaback, “Local error estimates for radial basis function interpolation of scattered data,” IMA J. Numer. Anal., 13, 13-27,1993.
  • [22] N. Dyn. “Interpolation of scattered data by radial functions,” in: Topics in Multivariate Approximation, Academic Press, 47–61, 1987.
  • [23] N. Dyn. “Interpolation and approximation by radial and related functions,” New York: Academic Press, 211–234, 1989.
  • [24] R. Schaback. “Multivariate interpolation and approximation by translates of a basis function,” in: “Approximation Theory VIII, Vol. 1: Approximation and Interpolation,” Singapore: World Scientific, 491–514, 1995.
  • [25] B. Fornberg ve N. Flyer . “Solving PDEs with radial basis functions,” Acta Numerica, 24, 215-258, 2015.
  • [26] M. Batan. “En küçük kareler destek vektör makineleriyle serbest yüzeyli akımlarınn havalandırma veriminin modellenmesi,” Yüksek lisans tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 2009.
  • [27] C. C Lee, P. C. Chung, J. R. Tsai ve C.I Chang. “Robust radial basis function neural networks,” IEEE Trans. Syst. Man Cybern. B Cybern., 29(6), 1999.
  • [28] A. Mellit, A. M. Pavan ve M. Benghanem. “Least squares support vector machine for short term prediction of meterological time series,” Theor. Appl. Climatol., 111, 297-302, 2013.
  • [29] E. Tarwater, “A parameter study of Hardy's multiquadric method for scattered data interpolation,” Lawrence Livermore National Labaoratory, Technical report, UCRL-54670, 1985.
  • [30] R. E. Carlson, ve T. A. Foley, “The parameter in multiquadric interpolation,” Comput. Math. Appl., 21, 29-42, 1991.
  • [31] W. R. Madych, “Miscellaneous error bounds for multiquadric and related interpolations,” Comput. Math. Appl., 24, 121-138, 1992.
  • [32] R. Schaback, “Error estimates and condition numbers for radial basis function interpolation,” Adv. Comput. Math., 3, 251-264, 1995.
  • [33] A. H. D. Cheng, M. A. Golberg, E. J. Kansa ve G. Zammito, “Exponential convergence and multiquadric collocation method for partial differential equations,” Numer. Methods for Partial Diff. Eq., 19, 571-594, 2003.
  • [34] H. Wendland, Scattered Data Approximation. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 17, 2005.
  • [35] M. Wadati, T. Izuka ve M. Hisakado, “A coupled nonlinear Schrödinger equation and optical solitons,” J. Phys. Soc. Japan, 61, 2241-2245, 199.
Birincil Dil tr
Konular Matematik
Bölüm Makaleler
Yazarlar

Orcid: 0000-0001-6631-8562
Yazar: Bahar KARAMAN (Sorumlu Yazar)
Kurum: Eskişehir Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü
Ülke: Turkey


Orcid: 0000-0003-0149-0542
Yazar: Yılmaz DERELİ
Kurum: Eskişehir Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü
Ülke: Turkey


Tarihler

Yayımlanma Tarihi : 30 Kasım 2019

Bibtex @araştırma makalesi { sdufeffd592437, journal = {Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi}, issn = {}, eissn = {1306-7575}, address = {}, publisher = {Süleyman Demirel Üniversitesi}, year = {2019}, volume = {14}, pages = {418 - 435}, doi = {10.29233/sdufeffd.592437}, title = {Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem}, key = {cite}, author = {KARAMAN, Bahar and DERELİ, Yılmaz} }
APA KARAMAN, B , DERELİ, Y . (2019). Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi , 14 (2) , 418-435 . DOI: 10.29233/sdufeffd.592437
MLA KARAMAN, B , DERELİ, Y . "Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem". Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi 14 (2019 ): 418-435 <https://dergipark.org.tr/tr/pub/sdufeffd/issue/50336/592437>
Chicago KARAMAN, B , DERELİ, Y . "Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem". Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi 14 (2019 ): 418-435
RIS TY - JOUR T1 - Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem AU - Bahar KARAMAN , Yılmaz DERELİ Y1 - 2019 PY - 2019 N1 - doi: 10.29233/sdufeffd.592437 DO - 10.29233/sdufeffd.592437 T2 - Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi JF - Journal JO - JOR SP - 418 EP - 435 VL - 14 IS - 2 SN - -1306-7575 M3 - doi: 10.29233/sdufeffd.592437 UR - https://doi.org/10.29233/sdufeffd.592437 Y2 - 2019 ER -
EndNote %0 Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem %A Bahar KARAMAN , Yılmaz DERELİ %T Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem %D 2019 %J Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi %P -1306-7575 %V 14 %N 2 %R doi: 10.29233/sdufeffd.592437 %U 10.29233/sdufeffd.592437
ISNAD KARAMAN, Bahar , DERELİ, Yılmaz . "Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem". Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi 14 / 2 (Kasım 2019): 418-435 . https://doi.org/10.29233/sdufeffd.592437
AMA KARAMAN B , DERELİ Y . Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem. SDÜFEFFD. 2019; 14(2): 418-435.
Vancouver KARAMAN B , DERELİ Y . Lineer Olmayan İkili Schrödinger Denklemi için Ağsız Bir Yöntem. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi. 2019; 14(2): 435-418.