Hidden Triangle Numbers in Fibonacci Numbers

Year 2020, Volume: 3 Issue: 1, 25 - 35, 09.07.2020

Yiğit Hesaptar , Beste Deniz Nursen Yılmaz

https://doi.org/10.37215/bilar.633484

Abstract

In this research, “How many subsets of set {1, 2, 3, 4, 5, …, n} have no two consecutive integers?” based on the problem, the Triangular Numbers hidden in the Fibonacci Numbers were discovered. The answer to the problem was sought “How should we write Triangular Numbers to compose n. Fibonacci?”. The number of elements of: {1, 2, 3, 4, 5, …, n} set is examined from n = 0 to n = 12. All subsets that do not have two consecutive elements are arranged systematically and charts are created. n. The order of the Triangular Numbers forming the Fibonacci Number is shown and proved by the Inductive Method. As a result, it has been observed that Fibonacci Numbers can be written as the sum of the Triangular Numbers, and in this article, the coefficients of the Triangular Numbers are also composed of Fibonacci Numbers.

Keywords

Fibonacci Numbers, Triangular numbers, Subset

Fibonacci Sayılarında Gizli Üçgensel Sayılar

Abstract

Bu araştırmada, “{1, 2, 3, 4, 5, …, n} kümesinin herhangi iki ardışık tam sayı içermeyen kaç alt kümesi vardır?” probleminden yola çıkılarak Fibonacci Sayılarında gizli olan Üçgensel Sayılar keşfedilmiştir. “n. Fibonacci Sayısını oluşturan Üçgensel Sayıların düzeni nasıldır?” problemine cevap aranmıştır. {1, 2, 3, 4, 5, …, n} kümesinin eleman sayısı sıfırdan başlatılarak n = 12’ye kadar incelenmiştir. Ardışık herhangi iki elemana sahip olmayan tüm alt kümeler sistematik olarak düzenlenerek çizelgeler oluşturulmuştur. n. Fibonacci Sayısını oluşturan Üçgensel Sayıların düzeni gösterilmiş ve Tümevarım Yöntemiyle ispat edilmiştir. Sonuç olarak Fibonacci Sayılarının Üçgensel Sayıların toplamı şeklinde yazılabildiği ve bu yazımda Üçgensel Sayıların katsayılarının da yine Fibonacci Sayılarından oluştuğu görülmüştür.

Keywords

Fibonacci Sayıları, Üçgensel Sayılar, Alt küme

References

• Aksoy, E., Sarı, Y. (2017). “Parabol Serilerinin Eklemeli Toplamlar Dizisinin Terimleri ile Üçgensel Sayılar Arasındaki İlişkiler”. TÜBİTAK 48. Lise Öğrencileri Araştırma Projeleri Final Yarışması Özet Kitapçığı, 48; 124.
• Bulut, F. (2017). “Pascal Üçgeni, Kombinasyon ve Tümevarım Kullanarak Fibonacci Dizisinin N. Elemanını Bulma”. El-Cezerî Fen ve Mühendislik Dergisi, 4(3); 429-435.
• Koşar, E. (2013). “Fibonacci Sayılarında F n p|F m Şartının Araştırılması”. TÜBİTAK 44. Ortaöğretim Öğrencileri Araştırma Projeleri Final Yarışması Özet Kitapçığı, 44; 127.
• Özer, A., Ünlü, K. (2009). “Fibonacci Ağacı”. TÜBİTAK 40. Ortaöğretim Öğrencileri Araştırma Projeleri Final Yarışması Özet Kitapçığı, 40; 90.
• Sertöz, S. (1997). Matematiğin Aydınlık Dünyası. TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, 6. Basım. Ankara.
• Takkın, B. K., Korkmaz, A. (2015). “Alt Kümelerin Üretici Fonksiyonları”. TÜBİTAK 46. Ortaöğretim Öğrencileri Araştırma Projeleri Final Yarışması Özet Kitapçığı, 46; 118.
• Taşgın, S., Taşgın. S. (2016). “Alt Küme Elemanlarının Toplamını Bulmada Pascal Üçgeni Yaklaşımı”. TÜBİTAK 47. Ortaöğretim Öğrencileri Araştırma Projeleri Final Yarışması Özet Kitapçığı, 47; 137.
• Uzun, M. F., Keleştemur, S. E. (2012). “Olasılık ve Fibonacci Dizisi Arasındaki İlişki”. TÜBİTAK 43. Ortaöğretim Öğrencileri Araştırma Projeleri Final Yarışması Özet Kitapçığı, 43; 126.
• Wells, D. (1997). Matematiğin Gizli Dünyası, Türkçesi: Dr. Selçuk Alsan. Sarmal Yayınevi, Birinci Baskı. İstanbul.