Some Theorems on Compactness and Completeness

Abstract

In this work, we prove the validity of the converses of some theorems about compactness and completeness. After we give some required basic definitions and theorems, we define monolimit property for sequences and nets, convergent subsequences property for first countable Hausdorff space, convergent subnets property for general Hausdorff space, and also, we show that those properties are equivalent to compactness and sequential compactness. On the other hand, we prove that a necessary and sufficient condition for completeness of a metric space is that every totally bounded subset of this space is relatively compact. Finally, we give some examples from some abstract spaces and normed spaces for application.

Keywords

• Topology,Compactness,Completeness,Sequence,Net,Convergence

Some Theorems on Compactness and Completeness

Abstract

Bu çalışmada, kompaktlık ve tamlık konularındaki bazı teoremlerin terslerinin de doğru olduğunu ispatlayacağız. Çalışma için bize gerekli olan temel tanım ve teoremlere değindikten sonra, diziler ve ağlar için tek limit özelliği, birinci sayılabilir Hausdorff uzaylar için yakınsak alt diziler özelliği, genel Hausdorff uzaylar için ise yakınsak alt ağlar özelliğini tanımlayacağız ve bu özelliklerin kompaktlığa ve dizisel kompaktlığa denk olduğunu göstereceğiz. Bunu yanı sıra, bir metrik uzayın tam olması için bir gerek ve yeter koşulun o metrik uzaydaki tamemen sınırlı her alt kümenin rölatif kompakt olması olduğunu ispatlayacağız. Son olarak ispatladığımız teoremlerin uygulaması için bazı soyut uzaylardan ve bazı normlu uzaylardan örnekler vereceğiz.

Keywords

• Topoloji,Kompaktlık,Tamlık,Diziler,Ağlar,Yakınsaklık

References

1. Giles J.R. 1987. Introduction to the Analysis of Metric Spaces, Cambridge Univ. Press, 257p. Cambridge.
2. Kelley J.L. 1955. General Topology, Van Nosrand, 298p. Princeton.
3. Kuratowski K. 1966. Topology 1, Academic Press, 560p. Warsaw.