Approximation Properties of Stancu-Type (p,q)-Baskakov Operators

Abstract

This paper deals with constructing the Stancu type modication of the Baskakov operators using (p,q) - integers. We study the rate of convergence by using Peetre's K-functional and modulus of continuity. In addition, we examine the pointwise estimation of the new operators for continuous and bounded functions in a Lipschitz space and a Lipschitz-type maximal function. Finally, we illustrate the convergence of the constructed operators to some functions with the help of MATLAB.

Keywords

• (pq)-Baskakov-Stancu Operators,Weighted Korovkin Theorem,Modulus of Continuity

Stancu Tipli (p,q)-Baskakov Operatörlerinin Yaklaşım Özellikleri

Abstract

Bu makale Baskakov operatörlerinin Stancu tipli modifikasyonlarının (p,q)-tamsayılar kullanılarak inşaa edilmesiyle ilgilenmektedir. Yaklaşım derecesi Peetre-K fonksiyonelleri ve süreklilik modülü kullanılarak çalışılmıştır. Buna ek olarak yeni operatörlerin noktasal yaklaşımı bir Lipschitz uzayındaki sürekli ve sınırlı fonksiyonlar ve bir Lipschitz-tipli maksimal fonksiyon için incelenmiştir. Sonuç olarak, üretilen operatörlerin bazı fonksiyonlara yakınsaklığı MATLAB yardımıyla  elde edilen grafiklerle gösterilmiştir.

Keywords

• (pq)-Baskakov-Stancu Operatörleri,Ağırlıklı Korovkin Metod,Süreklilik Modülü

References

1. Reference 1. Aral, A., Gupta, V. 2011. Generalized q -Baskakov operators, Mathematica Slovaca, 61 (4): 619-634.
2. Reference 2. Büyükyazıcı, İ., Atakut, Ç. 2010. On Stancu type generalization of q -Baskakov operators, Mathematical and Computer Modelling, 52: 752-759.
3. Reference 3. Mishra, V. N., Sharma, P., Kılıçman, A., Jain, D. 2016. Statistical Approximation Properties of Stancu Type q - Baskakov-Kantorovich Operators, Filomat, 30 (7): 1853-1868.
4. Reference 4. Mursaleen, M., Ansari, K. J., Khan, A. 2015. On (p,q) -analogue of Bernstein Operators, Appl. Math. and Comput., 266: 874-882. (Erratum: Appl. Math. Comput., 266: 874-882, (2015)).
5. Reference 5. Acar, T., Mursaleen, M., Mohiuddine, S. A. 2018. Stancu Type (p,q) -Szasz-Mirakyan-Baskakov operators, Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Series A1, 67 (1): 116-128,
6. Reference 6. Acar, T., Aral, A., Mohiuddine, S. A. 2016. On Kantorovich modification of (p,q) -Baskakov operators, J. Inequal. Appl., 2016: 98.
7. Reference 7. Aral, A., Ulusoy, G., Deniz, E. 2018. A new construction of Szasz-Mirakyan operators, Numerical Algorithms, 77 (2): 313-326.
8. Reference 8. Kanat, K., Sofyalıoğlu, M. 2018. Some approximation results for Stancu type Lupaş-Schurer operators based on (p,q) - integers, Appl. Math. and Comp., 317: 129-142.

9. Reference 9. Mishra, V. N., Pandey, S. 2017. On (p,q) Baskakov–Durrmeyer–Stancu Operators, Adv. Appl. Clifford Algebras, 27: 1633-1646.
10. Reference 10. Yüksel, İ., Dinlemez Kantar, U., Altın, B. 2017. On the (p,q)-Stancu Generalization of a Genuine Baskakov-Durrmeyer Type Operators, Int. J. of Analysis and App., 15 (2): 138-145.
11. Reference 11. Aral, A., Gupta, V. 2016. (p,q) -type beta functions of second kind, Adv. Oper. Theory, 1 (1): 134-146.
12. Reference 12. Hounkonnou, M. N., Kyemba, JDB. 2013. R (p,q) -calculus: differentiation and integration, SUT J Math., 49 (2): 145–167.
13. Reference 13. Sadjang, P. N. 2013. On the fundamental theorem of (p,q) -calculus and some (p,q) -Taylor formulas, arXiv:1309.3934v1 [math.QA].
14. Reference 14. Gadzhiev, A. D. 1976. Theorems of the type of P. P. Korovkin type theorems, Math. Zametki, 20 (5): 781–786, (1976). English Translation, Math. Notes 20 (5–6): 996–998. https://doi.org/10.1007/BF01146928.
15. Reference 15. DeVore, R. A., Lorentz, G. G. 1993. Constructive Approximation, Berlin: Springer, 177.
16. Reference 16. Lenze, B. 1988. On Lipschitz type maximal functions and their smoothness spaces, Ned. Akad. Indag. Math., 50: 53-63.