Abstract
In
this work, we prove the validity of the converses of some theorems about
compactness and completeness. After we give some required basic definitions and
theorems, we define monolimit property for sequences and nets, convergent
subsequences property for first countable Hausdorff space, convergent subnets
property for general Hausdorff space, and also, we show that those properties
are equivalent to compactness and sequential compactness. On the other hand, we
prove that a necessary and sufficient condition for completeness of a metric
space is that every totally bounded subset of this space is relatively compact.
Finally, we give some examples from some abstract spaces and normed spaces for
application.
Keywords
References
- Giles J.R. 1987. Introduction to the Analysis of Metric Spaces, Cambridge Univ. Press, 257p. Cambridge.
- Kelley J.L. 1955. General Topology, Van Nosrand, 298p. Princeton.
- Kuratowski K. 1966. Topology 1, Academic Press, 560p. Warsaw.
Abstract
Bu
çalışmada, kompaktlık ve tamlık konularındaki bazı teoremlerin terslerinin de
doğru olduğunu ispatlayacağız. Çalışma için bize gerekli olan temel tanım ve
teoremlere değindikten sonra, diziler ve ağlar için tek limit özelliği, birinci
sayılabilir Hausdorff uzaylar için yakınsak alt diziler özelliği, genel
Hausdorff uzaylar için ise yakınsak alt ağlar özelliğini tanımlayacağız ve bu
özelliklerin kompaktlığa ve dizisel kompaktlığa denk olduğunu göstereceğiz.
Bunu yanı sıra, bir metrik uzayın tam olması için bir gerek ve yeter koşulun o
metrik uzaydaki tamemen sınırlı her alt kümenin rölatif kompakt olması olduğunu
ispatlayacağız. Son olarak ispatladığımız teoremlerin uygulaması için bazı
soyut uzaylardan ve bazı normlu uzaylardan örnekler vereceğiz.
Keywords
References
- Giles J.R. 1987. Introduction to the Analysis of Metric Spaces, Cambridge Univ. Press, 257p. Cambridge.
- Kelley J.L. 1955. General Topology, Van Nosrand, 298p. Princeton.
- Kuratowski K. 1966. Topology 1, Academic Press, 560p. Warsaw.
Details
| Primary Language | English |
|---|---|
| Journal Section | Articles |
| Authors | |
| Publication Date | June 29, 2018 |
| Submission Date | April 18, 2018 |
| Acceptance Date | May 23, 2018 |
| Published in Issue | Year 2018 Volume: 7 Issue: 1 |
