Z_8+uZ_8+vZ_8 Üzerinde Aykırı Devirli Kodlar İçin Bazı Sonuçlar

Abstract

Kodlama teorisinde, lineer kodların özel bir sınıfı olan devirli kodlar ile ilgili araştırmalar büyük ilgi görmektedir. Bu ilginin en önemli nedenlerinden bazıları devirli kodların zengin cebirsel özelliklere sahip olmaları, birçok uygulama alanlarının bulunması, kodlama ve kod çözmede kolaylık sağlamaları olarak sayılabilir. Devirli kodların sabit-devirli, parçalı devirli ve yarı burmalı devirli kodlar gibi genellemeleri bulunmaktadır. Bu genellemelerin çoğunda değişmeli yapılar üzerinde çalışılmıştır. Son zamanlarda devirli kodların değişmeli olmayan halkalardaki üreteç polinomları kullanılarak bir başka genellemesi (aykırı devirli kodlar) tanımlanmıştır. Aykırı polinom halkalarının cebirsel özellikleri nedeniyle, aykırı devirli kodlar optimal kod bulma açısından devirli kodlara göre daha avantajlıdır. Bu çalışmada, u^2=v^2=uv=vu=0 olmak üzere R=Z_8+uZ_8+vZ_8 halkası üzerinde tanımlı aykırı devirli kodlar dikkate alınmış ve bazı sonuçlar elde edilmiştir. θ, R üzerinde bir otomorfizm olmak üzere R[x,θ] aykırı polinom halkaları kullanılarak, θ-devirli kodlar tanımlanmıştır. R[x,θ] daki herhangi bir elemanın merkez eleman olabilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir. R halkasının elemanları için Gray ağırlığı ve R nin θ tarafından sabit bırakılan alt halkası R^θ tanımlanmıştır. Ayrıca bu kodların üreteç ve kontrol matrislerinin formu belirlenmiş ve bazı örnekler verilmiştir.

Keywords

• Lineer kod
• Aykırı devirli kod
• Gray dönüşümü

Some Results For Skew Cyclic Codes Over Z_8+uZ_8+vZ_8

Abstract

In coding theory, researches on cyclic codes, which are special class of linear codes, have attracted great attention. Some of the most important reasons for this interest are that cyclic codes have rich algebraic properties, have many application areas, and provide convenience in coding and decoding. There are many generalizations of cyclic codes such as consta-cyclic codes, quasi-cyclic codes and quasi-twisted codes. In most of these generalizations, cyclic codes have been studied in commutative settings. Recently, another generalization of cyclic codes, skew cyclic codes, has been defined by using generator polynomials in non commutative polynomial rings. Since skew polynomial rings have algebraic properties, skew cyclic codes have more advantages than the cyclic codes for finding optimal codes. In this study, the ring 〖R=Z〗_8+uZ_8+vZ_8 , where u^2=v^2=uv=vu=0 is considered and some results which are obtained for the skew cyclic codes defined over the ring R. Using the skew polynomial rings R[x,θ] where θ is an automorphism on R, θ-cyclic codes are defined. Necessary and sufficient conditions are given for any element in R[x,θ] to be the central element. The Gray weight for the elements of the ring R and the subring R^θ of R fixed by θ are defined. Also, generator and parity-check matrisces of these codes are determined and given some examples.

Keywords

• Linear cod
• Skew cyclic code
• Gray map

References

1. Hammons, A. R., Kumar, P. V, Calderbank, A. R., Sloane, N. J. A. and Solé, P., (1994), The Z_4‐linearity of Kerdock, Preparata, Goethals, and Related Codes, IEEE Transactions on Information Theory, vol. 40, pp. 301‐319.
2. Çalışkan, B. and Balıkçı, K., (2019), Counting Z_2 Z_4 Z_8 -additive codes, European Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 12, no. 2, pp. 668-679.
3. Çalışkan, B. ve Özkan, Ö., (2020), Serbest Z_2 Z_4 Z_8-Toplamsal Kodları Sayma, Erzincan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, vol. 13, pp. 70 -75.
4. Çalışkan, B., (2021), On one-weight and acd codes in Z_2^r×Z_4^s×Z_8^t, Filomat, vol. 35(3).
5. Boucher, D. Geiselmann, W. and Ulmer, F., (2007), Skew Cyclic Codes, Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, vol. 18, no. 4, pp. 379-389.
6. Boucher, D. and Ulmer, F., (2009), Coding with Skew Polynomial Rings, Journal of Symbolic Computation, vol. 44, pp. 1644‐1656.
7. Sharma, A. and Bhaintwal, M., (2017), A class of skew-constacyclic codes over Z_4+uZ_4 with derivation, International Journal of Information and Coding Theory, vol. 4, no. 4, pp. 289-303.
8. Islam, H. and Parakash, O., (2018), A study of cyclic and constacyclic codes over Z_4+uZ_4+vZ_4, Int. J. of Information and Coding Theory, vol. 5, pp. 155-168.

9. Dougherty, S.T., Gulliver, T.A. and Wong, J., (2006), Self-dual codes over Z_8 and Z_9, Des. Codes Crypt., vol. 41, pp. 235-249.
10. Çalışkan, B., (2020), Linear Codes over the Ring Z_8+uZ_8+vZ_8, Conference Proceeding Science and Technology, vol. 3, no. 1, pp. 19-23.
11. Carlet, C., (1998), Z_(2^k ) linear codes, IEEE Transactions on Information Theory, vol. 44, pp. 1543-1547.
12. Dougherty, S.T. and Fernández-Córdoba, C., (2011), Codes over Z_(2^k ), gray map and self-dual codes, Adv. Math. Commun., vol. 5, pp. 571-588.