Serbest Metabelyen Lie Cebirlerinin Direkt Toplamlarının Test Elemanları

Abstract

M_{n_{i}}, rankı n_{i} olan serbest metabelyen Lie cebiri ve M,  i=1,2,...,m için M_{n_{i}}  cebirlerinin direkt toplamı olsun. Bu çalışmada M nin bir test elemanına sahip olması için gerek ve yeter koşulun her i için n_{i}=2 olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca  u=u_{1}+u_{2}+...+u_{m}\in M olmak üzere " u nun bir test elemanı olması için gerek ve yeter koşul i=1,2,...,m için u_{i}\in M_{2}' ve {u_{1}, u_{2},..., u_{m}} kümesinin bağımsız olmasıdır" sonucu elde edilmiştir.

Keywords

• test,elemanı,direk,toplam,Lie

Test Elements of Direct Sums of Free Metabelian Lie Algebra

Abstract

Let M_{n_{i}} be the free metabelian Lie algebra of rank n_{i} and M be the direct sum of M_{n_{i}}  . In this paper it is proved that M has a test element if and only if  n_{i}=2  for each i. Additionally it is obtained that an element u=u_{1}+u_{2}+...+u_{m}\in M is a test element if and only if u_{i}\in M_{2}for i=1,2,...,m   and {u_{1}, u_{2},..., u_{m}}   is an independent set.

References

1. Dick, W. 1982. "A commutator test for two elements to generate the free algebra of rank two", Bull. London Math. Soc., 14, 48-51.
2. Drensky, V., Yu, J. T. 1998. "Orbits in free algebras of rank two", Comn. Alg., 26, 1895-1906.
3. Ekici,N., Öğüşl, N. Ş. 2011. "Test rank of an abelian product of a free Lie algebra and a free abelian Lie algebra", Proc. Indian Acad. Sci.(Math. Sci.), 121,(3), 291- 300.
4. Eskal, C., Ekici, N. 2016. "Test elements of direct sum and free products of free Lie algebras", Proc. Indian Acad. Sci.(Math. Sci.),126(1), 43-48.
5. Esmerligil, Z., Ekici, N. 2003. Test sets and test rank of free metabelian Lie algebra", Comn. Alg., 31(11), 5581-5589.
6. Esmerligil, Z., Kahyalar, D., Ekici, N. 2006. "Test rank of F⁄R' Lie algebras", Int. J. Alg. Comp., 16(4), 817-825.
7. Esmerligil, Z., Ekici, N. 2006. "Rankı 2 olan F⁄R' Lie cebirleri için komutatör testi", XIX. Ulusal Matematik Sempozyumu, Konferans Kitabı, Kütahya, 685-690.
8. Mikalev, A. A., Yu J. T. 1997. "Test elements and retracts of free Lie algebras", Commun. Alg., 25, 3283-3289.

9. Mikalev, A. A., Yu J. T. 2000. "primitive, almost primitive, test and ∆-primitive elements of free algebras with the Nielsen-Schrier property", J. Alg., 228, 603- 623.
10. Mikalev, A. A., Umirbaev, U. U., Yu J. T. 2001. "Generic, almost primitive and test elements of free Lie algebras", Proc. Amer. Math. Soc., 130(5), 1303-1310.
11. Öğüşlü, N. Ş., Ekici, N. 2018. "The test rank of a solvable a product of free abelian Lie algebras", J. Alg. Appl., doi. 10.1142/50219492819500257.
12. Shpilrain, V. 1995. "Test elements for endomorphisms of free groups and algebras", Israel J. Math., 92, 307-316.
13. Temizyürek, A., Ekici, N. 2006. "F⁄[R^',F] Lie cebirleri için komutatör testi", XIX. Ulusal Matematik Sempozyumu, Konferans Kitabı, Kütahya, 109-115.
14. Temizyürek, A., Ekici, N. 2007. "A particular test element of a free solvable Lie algebra of rank two", Rocky Mountain J. Math., 37(4), 1415-1426.
15. Turner, E. C. 1996. "Test words for automorphisms of free groups", Bull. London Math. Soc., 28, 255-263.