Zaman-Uzayda Sonlu Farklar Yöntemin Dezavantajları İçin Geometrik Optik Yöntemlerin Kullanımı

Yıl 2014, Cilt: 29 Sayı: 1, 0 - , 26.03.2014

Mehmet Çiydem Sencer Koç

https://doi.org/10.17341/gummfd.14281

Cited By: 1

Öz

Elektromanyetikte Maxwell denklemleri, kısmi diferansiyel denklemler (KDD) olup, çözümü için uzay-zamanda nümerik yöntemler kullanılmaktadır. En yaygın yöntemlerden biri olan Zaman-Uzayda Sonlu Farklar (ZUSF) yöntemi Maxwell KKD’leri ızgarada doğrudan çözer. ZUSF’de, elektromanyetik alanları yeterli miktarda örnekleyip, katlanmayı önlemek için ızgara aralıkları (x, y, z) seçilir. Maksimum zaman aralığı (t) ise nümerik algoritmanın kararlılığını sağlayacak şekilde belirlenir. Nümerik çözümlerde, KDD’lerin ayrıklaştırılmasından dolayı, ZUSF yöntemi, ızgarada farklı hızlarda ve yönbağımlı dalga yayılımına sebep olan nümerik dağılmaya maruzdur. Nümerik dağılma zamansal çözümde ciddi faz hataları yaratmaktadır. Bu hatalar birikimli artmaktadır. Ayrıca ızgaradaki bazı kipler ışık hızının ötesine geçmektedir. Bu çalışmada, Maxwell KDD’lerini doğrudan çözmek yerine, Geometrik Optik yöntemleri kullanarak, zamansal elektromanyetik için Işın Tabanlı Sonlu Farklar (ITSF) adlı bir yöntem önerilmiştir. Elektromanyetik alanların kendisi ve ardışık zaman diferansiyellerindeki süreksizlikler hiperuzayda sadece dalgacepheleri üzerinde olur ve ışınlar üzerinde
taşıma denklemleri adı verilen adi diferansiyel denklemler (ADD) ile taşınırlar. Yönbağımsız ortamda, elektromanyetik enerji dalgacephesine dik olan ışınlar doğrultusunda akar. ITSF, hesaplama ızgarası yaratılırken enerjinin akış yönünü (ışınları) dikkate alır, ızgaradaki nümerik hesaplamalar için ADD olan taşıma denklemlerini kullanır ve Taylor serisi açılımdan yararlanarak zamansal elektromanyetik alanı hesaplar. Benzetim sonuçları, ZUSF’nin dezavantajlarını gidermek için ITSF’nin kullanılabileceğini göstermektedir.

Anahtar Kelimeler

Elektromanyetik, Maxwell denklemleri, nümerik yöntemler, nümerik dağılma, geometrik optik.

Kaynakça

• Stratton, J.A., Electromagnetic Theory,
• McGraw-Hill, NY, 1964.
• Taflove, A. ve Hagness, S.C., Computational
• Electrodynamics–The Finite Difference Time
• Domain Method, Artech House, MA, 2005.
• Schneider, J.B. ve Wagner, C.L., “FDTD
• dispersion revisited: faster than light
• propagation”, IEEE Microwave and Guided
• Wave Letters, Cilt 9, No 2, 54-56, 1999
• Çiydem, M., Ray Based Finite Difference
• Method For Time Domain Electro-magnetics,
• Doktora tezi, ODTÜ, Ankara, Türkiye, 2005.
• Çiydem, M. ve Koç, S., “Elimination of FDTD
• numerical dispersion by using geometrical optic”, IEEE APS/URSI Symp., Albequerque, USA,
• -3820, July, 2006.
• Klein, M. ve Kay, I.W., Electromagnetic
• Theory and Geometrical Optics, Interscience
• Publisher, NY, 1965.
• Yee, K.S., “Numerical solution of initial
• boundary value problems involving Maxwell’s
• equations in isotropic media”, IEEE Trans. AP,
• Cilt 14, No 3, 302-307, 1966
• Courant, R., Friedrichs, K., ve Levy, H., “On the
• partial differential equations of mathematical
• physics”, IBM Journal, Cilt 11, 215-237, 1967
• Shin, C-S. ve Nevels, R., “Optimizing the
• Gaussian excitation function in finite different
• time domain method”, IEEE Trans. Education,
• Cilt 45, No 1, 54-56, 2002
• Sommerfeld A., Partial Differential Equations
• in Physics, Academic Press, NY, 1949
• Courant, R. ve Hilbert, D., Methods of
• Mathematical Physics, Interscience Publisher,
• NY, 1964.