İki Aralıklı Sınır Değer İletim Problemlerinin Sonlu Farklar Yöntemi ile Çözümü

Year 2023, Volume: 12 Issue: 1, 15 - 23, 30.06.2023

Semih Çavuşoğlu , Oktay Mukhtarov

Abstract

Kısmi diferansiyel denklemler için başlangıç ve/veya sınır değer problemleri, matematiksel fizikte ortaya çıkan birçok somut problemin matematiksel modeli olarak ortaya çıkar. Açıktır ki, tüm problemler analitik olarak çözülemez. Bazı durumlarda verilen matematiksel fizik problemi analitik olarak çözülebilir, ancak kesin çözüm kullanımı imkansız olacak kadar karmaşık bir biçim alabilir. Bu nedenle, kesin çözüme en yakın yaklaşık çözümü bulmak için çeşitli yarı analitik ve/veya sayısal yöntemler geliştirilmiştir. Bunlardan biri, verilen problemin yeterli sayıda süreklilik koşuluna ve başlangıç/sınır koşullarına sahip olması koşuluyla, matematiksel fizikteki geniş bir problem sınıfına uygulanabilen Sonlu Farklar Yöntemi (SFY) olarak adlandırılır.
Bu çalışmada, ana özelliği verilen sınır koşullarının yalnızca tanım alanının uçlarını değil, aynı zamanda iç tekil noktayı da içermesi olan yeni türdeki sınır değer problemlerini (SDP'ler) inceliyoruz. Bu tür problemlere sınır değer iletim problemleri (SDİP'ler) veya kısaca iletim problemleri (İP'ler) denir. Doğal olarak, İP'leri çözmek klasik SDP'lerden çok daha zordur. Klasik SFY, dahili tekil noktalarda iletim koşulları içermeyen problemleri çözmek için tasarlanmıştır. Bu çalışmanın temel amacı, yalnızca düzenli SDP'leri değil, aynı zamanda bazı dahili tekil noktalarda ek iletim koşullarını içeren iki aralıklı sınır değer problemlerini çözmek için klasik SFY'nin yeni bir modifikasyonunu geliştirmektir.

Keywords

Sonlu farklar yöntemi, iletim koşulları, iç tekil nokta, iki aralıklı sınır değer problemi

Solution of Two Interval Boundary Value Transmission Problems by Finite Difference Method

Abstract

Keywords

Finite difference method, transmission conditions, interior singular point, two interval boundary value problem

References

• Ascher, U. M., Mattheij R. M. M., and Russell R. D., 1994. Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations, Vol. 13, Siam.
• Aydemir, K., 2022.Green’s Function and Carleman’s Formula for Transmission Problems. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 45, 3277–3291. https://doi.org/10.1007/s40840-022-01379-w
• Aydemir, K., Mukhtarov, O. S. ,2021. Spectrum of periodic Sturm-Liouville problems involving additional transmission conditions. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2, 1-12.
• Burden, R. L., Faires, J. D., 1997. Numerical Analysis, Brooks, Cole Pub. Co., Pacific Grove, California, 609.
• Cavusoglu, S., Mukhtarov, O. S., 2022. A new treatment of the finite difference method for 2-interval Sturm-Liouville problems. Mathematics in Engineering, Science & Aerospace (MESA), 13(1).
• Çavuşoğlu, S., Mukhtarov, O. S., 2021. A new finite difference method for computing approximate solutions of boundary value problems including transition conditions. Вестник Карагандинского университета. Серия: Математика, (2), 54-61.
• Çavuşoğlu, S., Mukhtarov, O., 2022. Modified Finite Difference Method for solution of two-interval boundary value problems with transition conditions. Turkish Journal of Mathematics and Computer Science, 14(1), 98-106.
• Kincaid, D., Kincaid, D. R., Cheney, E. W., 2009. Numerical analysis: mathematics of scientific computing (Vol. 2), American Mathematical Soc.
• LeVeque, R. J. , 2007. Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-dependent problems, Society for Industrial and Applied Mathematics,.
• Mukhtarov, O. S., Yücel, M., Aydemir, K., 2020. Treatment a new approximation method and its justification for Sturm–Liouville problems. Complexity.
• Mukhtarov, O. S., Cavusoglu, S., Pandey, P. K., 2021. Development of the Finite Difference Method to solve a new type Sturm-Liouville problems, Tbilisi Mathematical Journal, 14(3),141-154.
• Mukhtarov, O. S., Aydemir, K., 2022. Spectral Analysis of α-Semi Periodic 2-Interval Sturm-Liouville Problems. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 21(3), 1-14.
• Olǧar, H., Muhtarov, F. S., Mukhtarov, O. S., 2018. Lower bound estimation for eigenvalues formany interval BVP’s with eigenparameter dependent boundary conditions. In AIP Conference Proceedings (Vol. 1997, No. 1, p. 020037). AIP Publishing LLC
• Olğar, H., Mukhtarov, O. S., Muhtarov, F. S., Aydemir, K. ,2022. The weak eigenfunctions of boundary-value problem with symmetric discontinuities. Journal of Applied Analysis.
• Pandey, P.,2019. A Consistent and Accurate Numerical Method for Approximate Numerical Solution of Two Point Boundary Value Problems. International Journal of Mathematical Modelling &Computations, 9(2 (SPRING)), 149-154.
• Şen, E., Štikonas, A., 2022. Computation of eigenvalues and eigenfunctions of a non-local boundary value problem with retarded argument. Complex Variables and Elliptic Equations, 67(7), 1662-1676.
• Ugurlu, E., Tas, K., 2021. Dependence Of Eigenvalues Of Some Boundary Value Problems. Applied Mathematics E-Notes, 21, 81-88.
• Yücel, M., Mukhtarov, O., 2019. Application of differential transform method and Adomian decompositionh method for solving of one nonlinear boundary-value-transmission problem. In AIP Conference Proceedings (Vol. 2183, No. 1, p. 090011). AIP Publishing LLC.