Collocation Method for Solution of Ordinary and Partial Differantial Equations

Year 2020, Volume: 10 Issue: 4, 1136 - 1143, 15.10.2020

Birkan Durak

https://doi.org/10.17714/gumusfenbil.681276

Abstract

Engineering problems are often expressed mathematically as ordinary and partial differential equations. When analytical solution is not possible two base functions defined in solution of the problem were used. In this study, approximate solutions of two boundary value problem were found by collocation method. The first problem is that the selected two base functions are solved using nonhomogeneous boundary conditions. The same problem was resolved by homogenizing the nonhomogeneous boundary condition and taking two collocation points. The second problem is the Laplace equation with some nonhomogeneous boundary conditions. The analytical solution and collocation solution of this equation were compared. In both problems, as the number of collocation points increases, approximate solution approaches analytical solution. In addition, it was found that the number of equations in the system created to find the coefficients in the solution increased with the number of sorting points.

Keywords

Differential Equations, Collocation Method, Numerical Solution

Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin Kollokasyon Yöntemiyle Bulunması

Abstract

Mühendislik problemleri adi ve kısmi diferansiyel denklemler şeklinde matematiksel olarak ifade edilirler. Bu denklemlerin analitik çözümlerinin mümkün olmadığı durumlarda yaklaşık çözümler bulunmaya çalışılır. Çalışmada iki sınır değer probleminin yaklaşık çözümü kollokasyon metoduyla bulunmuştur. İlk problem homojen olmayan sınır şartlarına sahiptir. Problemin çözümde tanımlanan iki taban fonksiyonundan yararlanılmıştır. Aynı problem homojen olmayan sınır şartlarının homojenleştirilmesinin ardından iki kollokasyon noktası alınarak tekrar çözülmüştür. İkinci problem ise homojen olmayan sınır şartlarına sahip Laplace denklemidir. Her iki problemin analitik çözümleri ile kollokasyon metoduyla bulunan yaklaşık çözümleri karşılaştırılmıştır. Kollokasyon nokta sayısı arttıkça yaklaşık çözüm her iki problemde analitik çözüme yakınsamaktadır. Ayrıca çözümdeki katsayıları bulmak için oluşturulan sistemdeki denklem sayısının, kollokasyon nokta sayısıyla birlikte arttığı görülmüştür.

Keywords

Diferansiyel Denklemler, Kollokasyon Yöntemi, Sayısal Çözüm

References

• Bakioğlu, M., 2011. Sayısal Analiz, Birsen Yayınevi, ISBN 978-975-511-353-3, İstanbul, 543s.
• Crandall, S., 1968. Mühendislik Analizi Sayısal Hesap Metotlarına Genel Bakış, (çev: Şenol Utku, Ender ve Yazar Özden), İTÜ KÜTÜPHANESİ ELEKTRONİK HESAP MERKEZİ yayınları, İstanbul, 552s.
• Dolapçı, İ.T., Arslan, 2004, Chebyshev Collocation Method for Solving Linear Differantial Equations. Mathematical & Computational Applications, 9(1), 107-115.
• Durak, B., 2018 Kabuk Yapılarda Akışkan-Elastik Cisim Etkileşiminin Teorik İncelenmesi. Doktora Tezi, İstanbul Üniversitesi. İstanbul, 96s.
• Karaboğa, N., 2012. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları, Nobel Akademik Yayıncılık, ISBN 978-605-133-218-53, İstanbul, 384s.
• Uzunboy, M., 2016. Chebyshev Türevleme Matrisleri ve Bazı Uygulamaları. Yüksek Lisans Tezi, Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Denizli, 57s.
• Üstün, A., Jeodezide yaklaşım yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon Lisansüstü Ders Notları, 2013. https://docplayer.biz.tr/84760425-Jeodezide-yaklasim-yontemleri-enterpolasyon-ve-kollokasyon.html
• Wright, K., 1964. Chebyshev Collocation Method for Ordinary Differantial Equations. The Computer Journal, 6(4), 358-365.