A Work On Bitopologies Associated With Knots

Abstract

The bitopologies have been associated with some knots in the literature with the help of a method called the knot digraph notation. The knot graphs and quasi pseudo metric spaces were used to obtain these bitopologies. With the help of quasi pseudo metrics, two topologies were obtained on a set. In this way, an association between some knots and bitopologies was established. The authors sought an answer to the question “Given the bitopologies associated with knots, can the knot itself be obtained ?” and they gave a method. This mentioned method consists of 6 steps.. In this work, it is shown in detail that according to the Alexander-Briggs notation, the reverse of the knot digraph notation is provided for the knots 3(1), 5(1), 5(2), 6(1), 6(2), 7(1), 7(2), 7(3), 8(1), 8(2), 8(3), 9(1), 9(2), 9(3), 10(1), 10(2), 10(3).

Keywords

• Knot
• Digraph
• Bitopology

Düğümlerle Eşlenen Bitopolojiler Üzerine Bir Çalışma

Abstract

Literatürde, düğüm digraf notasyonu olarak isimlendirilen bir yöntem yardımıyla bazı düğümlerle bitopolojiler eşlendi. Bu bitopolojileri elde etmek için düğüm grafları ve quasi pseudo metrik uzaylar kullanıldı. Quasi pseudo metrikler yardımıyla bir küme üzerinde iki yeni topoloji elde edildi. Bu sayede bazı düğümler ile bitopolojiler arasında bir eşleme kurulmuş oldu.Yazarlar “Düğümlerle eşlenen bitopolojiler verildiğinde, düğümün kendisi elde edilebilir mi?” sorusuna cevap aradılar ve bir yöntem verdiler. Bu bahsedilen yöntem 6 adımdan oluşmaktadır. Bu çalışmada ise düğüm digraf notasyonun tersinin, Alexander-Briggs notasyonuna göre 3(1), 5(1), 5(2), 6(1), 6(2), 7(1), 7(2), 7(3), 8(1), 8(2), 8(3), 9(1), 9(2), 9(3), 10(1), 10(2), 10(3) düğümleri için sağlandığı detaylı bir şekilde gösterilmektedir.

Keywords

• Düğüm
• Digraf
• Bitopoloji
• Zayıf Küme
• Güçlü Küme

References

1. Elmalı, C. S., Uğur, T. & Kunduracı, T. (2018). On New Knot Tables, The Third International Conference on Computational Mathematics and Engineering Sciences, Girne/Kıbrıs, https://doi.org/10.1051/itmconf/20182201019
2. Girija, B. & Pilakkat, R. (2013). Bitopological spaces associated with digraphs, South Asian Journal of Mathematics, Vol.3 (1), 56-65.
3. Kelley J.C. (1963). Bitopological Spaces, Proc. London Math., 13, 71-89.
4. Kunduracı, T. (2017) Düğüm Tabloları için Yeni Bir Metod: Düğüm Digraf Notasyonu, (Yüksek Lisans Tezi), Erzurum Teknik Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı, Erzurum. Murasugi K. (1993), Knot Theory and Its Application, Boston: Birkhauser.
5. Uğur T., Elmalı C. S. & Yalaz F. (2018). The Reverse Operation Of Knot Digraph Notation, The Third International Conference on Computational Mathematics and Engineering Sciences, Girne/Kıbrıs, https://doi.org/10.1051/itmconf/20182201031.
6. Yalaz, F. (2017). Düğümlerle Eşlenen Bitopolojiler ve Ayırma Aksiyomları (Yüksek Lisans Tezi), Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstütüsü, Matematik Anabilim Dalı, Topoloji Bilim Dalı, Erzurum.
7. Yajima T., & Kinoshita S. (1957). On the graphs of knots. Osaka Math. J., 9, 155-163.