Relatif İki-Ağırlıklı Z_2 Z_2 [u]-Lineer Kodlar

Öz

α ve β sıfırdan farklı pozitif tamsayılar olmak üzere, Z_2^α×Z_4^β nın alt grupları olarak tanımlanan Z_2 Z_4-toplamsal kodlar araştırmacılar tarafından son yıllarda oldukça ilgi görmüştür. Bu kod ailesine benzer bir kod sınıfı Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s üzerindeki kodlardır. Bu kodlar Z_2 Z_4-toplamsal kodlara göre bazı avantajlara sahiptir. Bir kodun tüm kodsözleri aynı ağırlığa sahipse bu kod bir-(sabit) ağırlıklı kod olarak tanımlanır. Bu çalışmada, Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s üzerindeki relatif iki-ağırlıklı kodlar çalışılmıştır. İlk olarak, iki-mesafeli bir Z_2 Z_2 [u]-lineer kodun Gray görüntüsünün ikili iki-mesafeli bir kod olduğu gösterilmiştir. Daha sonra relatif iki-ağırlıklı bir Z_2 Z_2 [u]-lineer kodun Gray görüntüsün ikili relatif iki-ağırlıklı bir kod olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca, bu kodların duallerinin genellikle relatif iki-ağırlıklı kod olmadıkları örneklerle gösterilmiştir. Son olarak, relatif iki-ağırlıklı bir Z_2 Z_2 [u]-lineer kodun yapısı belirlenmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Bir-ağırlıklı kod
• Gray dönüşümü
• Z_2 Z_2 [u]-lineer kod

Relative Two-Weight Z_2 Z_2 [u]-Linear Codes

Abstract

Z_2 Z_4-additive codes, defined as subgroups of Z_2^α×Z_4^β where α and β are positive integers, have been considered by researchers for last years. The family of these codes are similar to the class of codes over Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s. These codes have some advantages compared to Z_2 Z_4-additive codes. A code is called constant weight (one-weight) if all the nonzero codewords have the same weight. In this study, relative two-weight codes over Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s are considered. Firstly, it is shown that the Gray image of a two-distance Z_2 Z_2 [u]-linear code is a binary two-distance code. Then, it is proven that the Gray image of a relative two-weight Z_2 Z_2 [u]-linear code, with nontrivial binary part, is a binary relative two-weight code. Also, it is shown that the duals of these codes are not relative two-weight codes generally by using examples. Finally, the structure of relative two-weight Z_2 Z_2 [u]-linear codes are determined.

Keywords

• One-weight code
• Gray map
• Z_2 Z_2 [u]-linear code

References

1. Dougherty ST., Liu H., Yu, L. One weight Z_2 Z_4-additive codes. Applic. Algebra in Eng. Com. and Comput., 2016; 27(2), 123-138.
2. Bonisoli A. Every equidistant linear code is a sequence of dual Hamming codes. Ars Combinatoria, 1983, 18, 181–186.
3. Carlet C. One-weight Z_4-linear codes. In: Buchmann, J., Hoholdt, T., Stichtenoth, H., Tapia-Recillas, H. (eds.) Coding Theory, Cryptogr. and Related Areas, Springer, Berlin, 2000, 57–72.
4. Wood JA. The structure of linear codes of constant weight. Trans. of the American Math. Soc., 2002, 354, 1007–102.
5. Borges J., Fernàndez-Córdoba C., Pujol J., Rifà J., Villanueva M. Z_2 Z_4-linear codes: generator matrices and duality. Des. Codes Cryptogr., 2010, 54(2), 167-179.
6. Bilal M., Borges J., Dougherty ST., Fernàndez-Córdoba C. Maximum distance separable codes over Z_4 and Z_2×Z_4. Des. Codes Cryptogr., 2011, 61, 31-40.
7. Fernàndez-Córdoba C., Pujol J., Villanueva M. Z_2 Z_4-linear codes:rank and kernel. Des. Codes Cryptogr., 2010, 56, 43-59.
8. Aydogdu, I. The structure of one-weight linear and cyclic codes over Z_2+uZ_2 Codes. An Inter. J. of Opt. and Control: Theories and Applications, 2018, 8(1), 92-101.

9. Çalışkan B. On One-Weight and ACD Codes in Z_2^r×Z_4^s×Z_8^t. Filomat, 2021, 35(3).
10. Liu Z., Chen W. Notes on the value function. Des. Codes Cryptogr., 2010, 54(1), 11-19.
11. Liu Z., Chen W., Sun Z., Zeng X. Further results on support weights of certain subcodes. Des. Codes Cryptogr., 2011, 61(2), 119-129.
12. Annamalai N., Durairajan C. Relative two-weight Z_2 Z_4- additive codes. Inter. J. of Computer &.Math. Sciences, 2016, 5(11), 30-34.
13. Aydogdu I., Abualrub T., Siap I. On Z_2 Z_2 [u]-additive codes. Inter. J. Computer Math., 2015, 92, 1806-1814.
14. Aydoğdu İ. Bazı özel modüller üzerinde toplamsal kodlar, Doktora Tezi, Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, sayfa no: 78, İstanbul, Türkiye, 2014.