Relatif İki-Ağırlıklı Z_2 Z_2 [u]-Lineer Kodlar

Year 2022, Volume: 5 Issue: 1, 56 - 65, 08.03.2022

Basri Çalışkan , Veysel Çelik

https://doi.org/10.47495/okufbed.971101

Abstract

α ve β sıfırdan farklı pozitif tamsayılar olmak üzere, Z_2^α×Z_4^β nın alt grupları olarak tanımlanan Z_2 Z_4-toplamsal kodlar araştırmacılar tarafından son yıllarda oldukça ilgi görmüştür. Bu kod ailesine benzer bir kod sınıfı Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s üzerindeki kodlardır. Bu kodlar Z_2 Z_4-toplamsal kodlara göre bazı avantajlara sahiptir. Bir kodun tüm kodsözleri aynı ağırlığa sahipse bu kod bir-(sabit) ağırlıklı kod olarak tanımlanır. Bu çalışmada, Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s üzerindeki relatif iki-ağırlıklı kodlar çalışılmıştır. İlk olarak, iki-mesafeli bir Z_2 Z_2 [u]-lineer kodun Gray görüntüsünün ikili iki-mesafeli bir kod olduğu gösterilmiştir. Daha sonra relatif iki-ağırlıklı bir Z_2 Z_2 [u]-lineer kodun Gray görüntüsün ikili relatif iki-ağırlıklı bir kod olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca, bu kodların duallerinin genellikle relatif iki-ağırlıklı kod olmadıkları örneklerle gösterilmiştir. Son olarak, relatif iki-ağırlıklı bir Z_2 Z_2 [u]-lineer kodun yapısı belirlenmiştir.

Keywords

Bir-ağırlıklı kod, Gray dönüşümü, Z_2 Z_2 [u]-lineer kod

Relative Two-Weight Z_2 Z_2 [u]-Linear Codes

Abstract

Z_2 Z_4-additive codes, defined as subgroups of Z_2^α×Z_4^β where α and β are positive integers, have been considered by researchers for last years. The family of these codes are similar to the class of codes over Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s. These codes have some advantages compared to Z_2 Z_4-additive codes. A code is called constant weight (one-weight) if all the nonzero codewords have the same weight. In this study, relative two-weight codes over Z_2^r×(Z_2+uZ_2 )^s are considered. Firstly, it is shown that the Gray image of a two-distance Z_2 Z_2 [u]-linear code is a binary two-distance code. Then, it is proven that the Gray image of a relative two-weight Z_2 Z_2 [u]-linear code, with nontrivial binary part, is a binary relative two-weight code. Also, it is shown that the duals of these codes are not relative two-weight codes generally by using examples. Finally, the structure of relative two-weight Z_2 Z_2 [u]-linear codes are determined.

Keywords

One-weight code, Gray map, Z_2 Z_2 [u]-linear code

References

• Dougherty ST., Liu H., Yu, L. One weight Z_2 Z_4-additive codes. Applic. Algebra in Eng. Com. and Comput., 2016; 27(2), 123-138.
• Bonisoli A. Every equidistant linear code is a sequence of dual Hamming codes. Ars Combinatoria, 1983, 18, 181–186.
• Carlet C. One-weight Z_4-linear codes. In: Buchmann, J., Hoholdt, T., Stichtenoth, H., Tapia-Recillas, H. (eds.) Coding Theory, Cryptogr. and Related Areas, Springer, Berlin, 2000, 57–72.
• Wood JA. The structure of linear codes of constant weight. Trans. of the American Math. Soc., 2002, 354, 1007–102.
• Borges J., Fernàndez-Córdoba C., Pujol J., Rifà J., Villanueva M. Z_2 Z_4-linear codes: generator matrices and duality. Des. Codes Cryptogr., 2010, 54(2), 167-179.
• Bilal M., Borges J., Dougherty ST., Fernàndez-Córdoba C. Maximum distance separable codes over Z_4 and Z_2×Z_4. Des. Codes Cryptogr., 2011, 61, 31-40.
• Fernàndez-Córdoba C., Pujol J., Villanueva M. Z_2 Z_4-linear codes:rank and kernel. Des. Codes Cryptogr., 2010, 56, 43-59.
• Aydogdu, I. The structure of one-weight linear and cyclic codes over Z_2+uZ_2 Codes. An Inter. J. of Opt. and Control: Theories and Applications, 2018, 8(1), 92-101.
• Çalışkan B. On One-Weight and ACD Codes in Z_2^r×Z_4^s×Z_8^t. Filomat, 2021, 35(3).
• Liu Z., Chen W. Notes on the value function. Des. Codes Cryptogr., 2010, 54(1), 11-19.
• Liu Z., Chen W., Sun Z., Zeng X. Further results on support weights of certain subcodes. Des. Codes Cryptogr., 2011, 61(2), 119-129.
• Annamalai N., Durairajan C. Relative two-weight Z_2 Z_4- additive codes. Inter. J. of Computer &.Math. Sciences, 2016, 5(11), 30-34.
• Aydogdu I., Abualrub T., Siap I. On Z_2 Z_2 [u]-additive codes. Inter. J. Computer Math., 2015, 92, 1806-1814.
• Aydoğdu İ. Bazı özel modüller üzerinde toplamsal kodlar, Doktora Tezi, Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, sayfa no: 78, İstanbul, Türkiye, 2014.