Zaman-Sıralı integralin üstel fonksiyon yakınsaması için küme teorisi yorumu

Yıl 2024, Cilt: 30 Sayı: 6, 785 - 789, 29.11.2024

Ali Mert Ceylan

Öz

Bu giriş çalışması, bağlı matris Lie grubundaki sürekli bir yolun, doğal
sayıların küme teorik bir yorumu olan von Neumann ordinali olan
kümeler ile temsil edilmesi için biçimsel bir temel önermektedir. Bu
çalışmada, von Neumann ordinallerinin ayrık tekrarlayan yapısının
üstel fonksiyon ile ilişkilendirilmesi amaçlanmıştır. Üstel fonksiyon
temelde bilim ve mühendislik literatürüne entegre olduğundan bu
çalışma, makine öğrenimi, kayıp fonksiyonları; kriptografi, anahtar
değişimi ve şifreleme algoritmaları; robotik, kinematik, yörünge
planlama; sayısal analiz, ayrık entegrasyon gibi alanlarda kullanılan
Üstel fonksiyon ile kümeler arasındaki bağları keşfetmeyi
amaçlamaktadır. Bu nedenle, üstel fonksiyonun küme teorik yorumu
disiplinler arası kritik bir role sahiptir. Makale boyunca, düzgün bir eğri
oluşturan rotasyonları kümeler, yani von Neumann ordinalleri
açısından yorumlamak için gerekli varsayımlar öne sürülmektedir.
Küme varlığı aksiyomu, küme grupları için birim eleman, düzgün bir
eğrinin üstellerin çarpımı açısından yorumlanması, üstel fonksiyonun
kısmen türevlenebilir özelliklerini gözlemlemek için bir türev
operatörünün tanımlanmasını kapsayan formalizasyonlar tanıtılmıştır.

Anahtar Kelimeler

Ayrık matematik, Lie grubu, Von Neumann ordinalleri, Pürüzsüz eğri, Türev operatörü, Rotasyon grubu, Küme teorisi

Set theory interpretation for exponential approximation of time-ordered integral

Öz

This introductory study suggests a formal basis for the interpretation of
a continuous path in a connected matrix Lie group to be represented by
the set of von Neumann ordinals which is a set-theoretical
interpretation of natural numbers. In this study, it is aimed to relate the
discrete recurrent structure of von Neumann ordinals to the exponential
function. Since the Exponential function is fundamentally integrated
into science and engineering literature this work aims to discover ties
between the Exponential function and sets where, the Exponential
function utilized in machine learning, loss functions; cryptography, key
exchange and encryption algorithms; robotics, kinematics, trajectory
planning; numerical analysis, discrete integration. Thus, the set
theoretical interpretation of the exponential function has an
interdisciplinary critical role. Throughout the article, necessary
conjectures are postulated to interpret the rotations that form a smooth
curve in terms of sets, namely von Neumann ordinals. Introduced
formalizations covering Set existence axiom, unit element for set
groups, interpretation of a smooth curve in terms of multiplication of
exponentials, introduced a derivative operator to observe limited
differentiable properties of the exponential function.

Anahtar Kelimeler

Discrete mathematics, Lie group, Von Neumann ordinals, Smooth curve, Exponential function, Derivative operator, Rotation Group, Set theory

Kaynakça

• [1] Çakır Ş, Kantarcı A. “Cellular automata and computer graphics”. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences, 5(1), 927-931, 1999.
• [2] Driessen JJM. “Random closed line on a 3D sphere”. https://tex.stackexchange.com/questions/496616/rand om-closed-line-on-a-3d-sphere (20.12.2021).
• [3] Rudin W. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. New York, USA, McGraw-Hill, 1976.
• [4] Tokmakoff A. “Time-Evolution Operator” https://chem.libretexts.org/@go/page/107223 (20.12.2021).
• [5] Haber H. “The Time Evolution Operator As A TimeOrdered Exponential”. http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph215/TimeOrderedExp. pdf (20.05.2023).
• [6] Goldrei DC. Classic Set Theory: For Guided Independent Study. 1st ed. New York, USA, Routledge, 2017.
• [7] Stillwell J. Naive lie Theory. 1st ed. New York, USA, Springer Science & Business Media, 2008.
• [8] Hall B. Lie Groups Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 2nd ed., New York, USA, Springer, 2015.