Analysis of a Mathematical Model in which the High Risk Individuals is Considered in Spread of Epidemic Diseases

Abstract

In this study, in which the spread of epidemic diseases in a population has been examined as mathematically, a compartmental epidemic model is presented. In this model, which consists of a system of delay differential equation, the individuals who are susceptible to the disease are formed two separate groups: susceptible individuals with high risk and others susceptible individuals. Thus, the model obtained is considered to be more realistic than clasical SEIR models. In the first section of the study after the introduction, the model is introduced and then the disease-free equilibrium point is obtained. Then, using the next generation operator method, the threshold value R_0, which is very important for the spread of diseases, is calculated. Taking into consideration the value of R_0, existence of the endemic equilibrium point of the model is investigated. In the third section, the local and global stabilities of existing equilibrium points are analyzed.

Keywords

• Lyapunov function
• local and global stability
• mathematical model
• epidemic model
• reproduction number

Salgın Hastalıkların Yayılmasında Yüksek Riskli Bireylerin Dikkate Alındığı Bir Matematiksel Modelin Analizi

Abstract

Salgın hastalıkların bir popülasyondaki yayılmasının matematiksel olarak incelendiği bu çalışmada kompartmental bir epidemik model oluşturulmuştur. Gecikmeli bir diferensiyel denklem sisteminden oluşan bu modelde hastalığa duyarlı bireyler yüksek risk taşıyanlar (susceptible individuals with high risk) ve diğerleri (susceptible individuals) olmak üzere iki alt grubun toplamından oluşmaktadır. Böylece elde edilen modelin klasik SEIR modellere göre daha gerçekçi olduğu düşünülmektedir. Çalışmanın girişten sonraki ilk bölümünde model tanıtılmış ve ardından hastalıktan bağımsız denge noktası elde edilmiştir. Daha sonra “next generation operator” yöntemi kullanılarak salgınların yayılmasında hayati bir önem taşıyan R_0 eşik değeri hesaplanmıştır. Bulunan R_0 değeri dikkate alınarak modelin hastalıkla ilişkili denge noktasının varlığı araştırılmıştır. Son bölümde ise mevcut olan denge noktalarının lokal ve global kararlılıkları analiz edilmiştir

Keywords

• Lyapunov fonksiyonu
• lokal ve global kararlılık
• matematiksel model
• epidemik model
• ikincil enfeksiyon sayısı

References

1. [1] Abel N.H., “Solutions de quelques problèmes à l'aide d'intégrales défines”, Oeuvres complètes, nouvelle éd. 1: 11–27, (1881).
2. [2] Kermack W.O., Mckendrick A.G., “A contributions to the mathematical theory of epidemics”, Proc. Roy. Soc. A, 115: 700-721, (1927).
3. [3] Balcı E., Öztürk İ., Kartal Ş., “Dynamical behaviour of fractional order tumor model with Caputo and conformable fractional derivative”, Chaos, Solitons & Fractals, 123: 43–51, (2019).
4. [4] Dénes A., Gumel A.B., “Modeling the impact of quarantine during an outbreak of Ebola virus disease”, Infec. Dis. Model., 4: 12–27, (2019).
5. [5] Merdan M., Bekiryazıcı Z., Kesemen T., Khaniyev, T., “Comparison of stochastic and random models for bacterial resistance”, Adv. Differ. Equ., 2017:133 DOI 10.1186/s13662-017-1191-5. (2017).
6. [6] Bereketoğlu H., Kavgaci M. E., Oztepe G. S., “Asymptotic convergence of solutions of a scalar q-difference equation with double delays”, Acta Math. Hungar. 148:2, 279-293, (2016).
7. [7] Aydogmus O., Kang Y., Kavgaci M. E., Bereketoğlu, H., "Dynamical effects of nonlocal interactions in discrete-time growth-dispersal models with logistic-type nonlinearities." Ecological Complexity ,31, 88-95, (2017).
8. [8] McCluskey C.C., “Complete global stability for an SIR epidemic model with delay Distributed or discrete”, Nonlin. Anal.: Real World Applications, 11: 55-59, (2010).

9. [9] Enatsu Y., Messina E., Nakata Y., Muroya Y., Russo E., Vecchio A., “Global dynamics of a delayed SIRS epidemic model with a wide class of nonlinear incidence rates”, Appl. Math. Comput., 39: 15-34, (2012).
10. [10] Tehrani N.F., Razvan M.R., Yasaman, S., “Global analysis of a delay SVEIR epidemiological model”, Iran. J. Sci. Technol. A, 37A4: 483-489, (2013).
11. [11] Guichen L., Zhengyi, L., "Global asymptotic stability for the SEIRS models with varying total population size." Mathematical Biosciences, 296, 17-25, (2018).
12. [12] Ojo M.M., Akinpelu F. O., “Lyapunov Functions and Global Properties of SEIR Epidemic Model”, International Journal of Chemistry, Mathematics and Physics, 1(1), Mar-Apr. (2017).
13. [13] https://www.who.int/westernpacific/emergencies/covid-19/information/high-risk-groups#:~:text=COVID%2D19 %20is%20often,their%20immune%20system.%E2%80%8B [14] LaSalle J.P., “Stability of non autonomous systems”, Nonlin. Anal., Theory, Methods and Applications, 1(1): 83-91, (1976).
14. [15] Öneç K., “Pandemi Sürecinde Nefroloji ve Hemodiyaliz Hastalarının Yönetimi – Düzce Üniversitesi Deneyimleri”, Konuralp Medical Journal, 12(1): 383-385, (2020).
15. [16] Lakshmikantham S., Leela S., Martynyuk, A. A. “Stability Analysis of Nonlinear Systems”, Marcel Dekker, Inc., New York., (1989).