E^5_2 Yarı-Öklid Uzayındaki Biharmonik Hiperyüzeyler

Abstract

Bu çalışmada, $\mathbb E^5_2$ yarı-Öklid uzayının indisi 2 olan biharmonik hiperyüzeyleri,  $\nabla H$  gradyenti ışıksal olan $H$ ortalama eğriliğine sahip olmaları, yani  $\left\langle \nabla H,\nabla H\right\rangle = 0$ ve $\nabla H\neq0$ koşullarının sağlanması varsayımı altında incelenmiştir. 

İlk iki bölümde problem tanıtılmış ve çalışmanın diğer bölümünde kullanılacak bazı temel tanım ve formüller hatırlatılmıştır. Ayrıca, $2$ indisli bir hiperyüzeyin şekil operatörlerinin tüm mümkün kanonik formları elde edilmiştir. 

Çalışmanın üçüncü bölümünde, bu durumların her biri için hiperyüzeylerin bazı geometrik özellikleri araştırılmıştır. Özellikle, $\nabla H$ gradyenti ışıksal olan biharmonik hiperyüzeyin şekil operatörünün $2$ olası kanonik formu olduğu elde edilmiştir. Hemen ardından, $\mathbb E^5_2$  yarı-Öklid uzayında indisi $2$ ve ortalama eğriliğinin gradyenti ışıksal 

olan bir biharmonik hiperyüzeyin olmadığı ispatlanmıştır. Son bölümde

ise, çalışmadan elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve tartışma bölümü verilmiştir.

Keywords

• Biharmonik hiperyüzeyler,Yarı-Öklid uzay,Yarı-Riemannsal alt manifoldlar,Şekil operatörü

Biharmonic Hypersurfaces in the Pseudo-Euclidean Space E^5_2

Abstract

In this work, biharmonic hypersurfaces of index 2 in pseudo-Euclidean space E52 are studied under the assumption of having mean curvature H whose gradient ÑH is light-like, i.e. hÑH;ÑHi = 0 and ÑH 6= 0. In the first two sections, the problem is introduced and some basic definitions and formulas that we will use in other part of the paper are recalled. Moreover, all possible canonical forms of the shape operator of a hypersurface of index 2 are obtained. In the third section of this work, for each of these cases, some of geometrical properties of hypersurfaces is investigated. In particular, there are 2 possible canonical forms of the shape operator for a biharmonic hypersurface such that whose gradient ÑH is light-like are obtained. After that, the non-existance of biharmonic hypersurface of index 2 in pseudo-Euclidean space E52 with the light-like ÑH is proved. In the last section, the results from this work is summarized and the discussion part is given.

Keywords

• Biharmonic hypersurfaces,Pseudo-Euclidean space,Semi-Riemannian submanifolds,Shape operator

References

1. [1] Eells, J., Sampson, J. H. 1964. Harmonic Mappings of Riemannian Manifolds, Amer. J. Math., 86 (1), 109–160.
2. [2] Dimitri´c, I. 1989. Quadric representation and submanifolds of finite type, Michigan State University, Department of Mathematics, Ph.D. Thesis, USA.
3. [3] Arvanitoyeorgos, A., Defever, F., Kaimakamis, G. and Papantoniou, V. 2007. Biharmonic Lorentzian hypersurfaces in E41 , Pac. J. Math., 229(2), 293–305.
4. [4] Arvanitoyeorgos, A., Kaimakamis, G. and Magid, M. 2009. Lorentz hypersurfaces in E41 satisfying DH = aH, lllinois J. Math., 53, 581–590.
5. [5] Chen, B.-Y. and Munteanu, M. I. 2013. Biharmonic ideal hypersurfaces in Euclidean spaces, Differential Geom. Appl., 31, 1-16.
6. [6] Chen, B.-Y. 1991. Some open problems and conjectures on submanifolds of finite type, Soochow J. Math., 17 (2), 169-188.
7. [7] Chen, B.-Y. 1996. A report on submanifolds of finite type, Soochow J. Math., 22, 117-337.
8. [8] Defever, F. 1998. Hypersurfaces of E4 with harmonic mean curvature vector, Math. Nachr, 196, 61-69.

9. [9] Chen, B.-Y., Ishikawa, S. 1998. Biharmonic surfaces in pseudo-Euclidean spaces, Kyushu J. Math., 52, 167-185.
10. [10] Arvanitoyeorgos, A., Defever, F., Kaimakamis, G. and Papantoniou, V. 2007. Hypersurfaces of E4s with proper mean curvature vector, J. Math. Soc. Japan, 59, 797-809.
11. [11] Defever, F., Kaimakamis, G. and Papantoniou, V. 2006. Biharmonic hypersurfaces of the 4-dimensional semi-Euclidean space E4s, J. Math. Anal. Appl., 315, 276-286.
12. [12] Turgay, N. C. 2016. Some classifications of biharmonic Lorentzian hypersurfaces in Minkowski 5-space, Mediterr. J. Math., 13 (1) , 401-412.
13. [13] Turgay, N. C. 2016. A classification of biharmonic hypersurfaces in Minkowski space of arbitrary dimension, Hacet. J. Math. Stat., 45, 1125-1134.
14. [14] Upadhyay, A. and Turgay, N. C. 2016. A Classification of Biconservative Hypersurfaces in a Pseudo-Euclidean Space, J. Math. Anal. Appl., 444(2), 1703–1720.
15. [15] Upadhyay, A. 2016. On the shape operator of biconservative hypersurfaces in E52 , Proceedings Book of International Workshop on Theory of Submanifolds, 1, 166-186.
16. [16] Petrov, A. Z. 1969. Einstein spaces, Pergamon Press, Oxford,.