Construction of Surfaces with Constant Mean Curvature along a Curve in E3

Abstract

In this study, the sufficient conditions are obtained to find surfaces that pass through any given curve in 3-dimensional Euclidean space and whose mean curvature is constant along this curve. For this purpose, firstly, surfaces passing through the given curve are expressed parametrically with the help of the tangent vector field, the principal normal vector field and the binormal vector field of the Frenet frame of the given curve, and the so called marching scale functions which are real valued C1 functions of two variables. The mean curvature of these surfaces along the given curve is calculated in terms of curvature and torsion of the given curve and, marching scale functions and their partial derivatives. Sufficient conditions are obtained to keep the mean curvature constant along the given curve. Some examples are given.

Keywords

• Surface family
• Constant mean curvature
• Euclidean3-space
• Salkowski curves
• Antisalkowski curves
• Helix curves

E3 te Verilen Bir Eğri Boyunca Sabit Ortalama Eğrilikli Yüzeylerin Oluşturulması

Abstract

Bu çalışmada, 3 boyutlu Öklid uzayında alınan herhangi bir eğriden geçen ve bu eğri boyunca ortalama eğriliği sabit olan yüzeyler bulmak için yeterli şartlar elde edildi. Bunun için öncelikle verilen eğrinin Frenet çatısında yer alan teğet vektör alanı, asli normal vektör alanı ve binormal vektör alanı ile sapma fonksiyonları adı verilen C1 sınıfından, iki değişkenli, reel değerli fonksiyonlar yardımıyla bu eğriden geçen yüzeyler parametrik olarak ifade edildi. Bu yüzeylerin, verilen eğri boyunca ortalama eğriliği; eğrinin eğriliği, burulması, sapma fonksiyonları ve bunların kısmi türevleri cinsinden hesaplandı. Verilen eğri boyunca ortalama eğriliğin sabit olması için yeterli şartlar elde edildi. Bazı örnekler verildi.

Keywords

• Yüzey Ailesi
• Sabit Ortalama Eğrilik
• 3-Boyutlu Öklid Uzayı
• Salkowski eğrileri
• Antisalkowski eğrileri
• Helis eğrileri

References

1. [1] Wang, G. J., Tang, K., Tai, C. L. 2004. Parametric representation of a surface pencil with a common spatial geodesic. Computer-Aided Design, 36(5), 447-459.
2. [2] Kasap, E., Akyıldız, F. T., Orbay, K. 2008. A generalization of surfaces family with commonspatial geodesic. Applied Mathematics and Computation, 201, 781-789.
3. [3] Li, C. Y., Wang R. H., Zhu C. G. 2011. Parametric representation of a surface pencil with a common line of curvature. Computer-Aided Design, 43(9), 1110-1117.
4. [4] Ergün, E., Bayram, E., Kasap, E. 2014. Surface pencil with a common line of curvature in Minkowski 3-space. Acta Mathematica Sinica, English Series, 30(12), 2103-2118.
5. [5] Bayram, E., Güler, F., Kasap, E. 2012. Parametric representation of a surface pencil with a common asymptotic curve. Computer-Aided Design, 44, 637-643.
6. [6] Hopf, H. 1989. Differential geometry in the large, Volume 1000 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, second edition.
7. [7] Alexandrov, A. D. 1956. Uniqueness theorems for surfaces in the large. I. Vestnik Leningrad University Mathematical, 11(19), 5-17.
8. [8] Meeks, W. H., Tinaglia, G. 2016. The geometry of constant mean curvature surfaces in R3. arXiv, 1609.08032v1.

9. [9] O’neill, B. 1966. Elementary Differential Geometry. Academic Press Inc., New York.
10. [10] Salkowski, E. 1909. Zur Transformation von Raumkurven. Mathematische Annalen, 66(4), 517–557.
11. [11] Nurkan, S. K., Güven, İ. A., Karaca, M. K. 2019. Characterizations of adjoint curves in Euclidean 3-space. Proceedings of the National Academy of Sciences, India Section A: Physical Sciences, 89(1), 155-161.
12. [12] Monterde, J. 2009. Salkowski curves revisited: A family of curves with constant curvature and non-constant torsion. Computer Aided Geometric Design, 26, 271–278.
13. [13] Abbena, E., Salamon, S., Gray, A. 1998. Modern differential geometry of curves and surfaces with mathematica. Third Edition.