An Inequality on M-Matrices

Abstract

Let 𝐴𝐴0 be a nonsingular symmetric M-matrix. For a sufficiently large t, 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐴𝐴0 is a
new nonsingular symmetric M-matrix and the following inequalities hold for the sum of the principal minors of
new matrix 𝐴𝐴𝑡𝑡:
�|𝐴𝐴(1)| < �|𝐴𝐴(1,2)|
𝐶𝐶𝑛𝑛
2 𝐶𝐶𝑛𝑛
1
< ⋯ < �|𝐴𝐴(1,2, … , 𝑛𝑛)|. Definition 1: Let 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖� be a real

valued matrix for 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑚𝑚 and
𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛. If 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 then matrix A is
said to be a non-negative matrix
(Gantmacher, 1956).
Definition 2: Let 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖� be a nonnegative an n dimensional square matrix and
I be a n dimensional unit matrix.

Keywords

• Non-negative matrix
• Nonsingular symmetric matrix
• M-Matrices

M-Matrisleri Üzerine Bir Eşitsizlik

Abstract

𝐴𝐴0 tekil olmayan simetrik bir M- matrisi olsun. Yeteri kadar büyük bir t değeri için 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐴𝐴0
şeklinde oluşturulan M- matrisinin esas minörlerinin toplamları arasında
�|𝐴𝐴(1)| < �|𝐴𝐴(1,2)|
𝐶𝐶𝑛𝑛
2 𝐶𝐶𝑛𝑛
1
< ⋯ < �|𝐴𝐴(1,2, … , 𝑛𝑛)|.
𝐶𝐶𝑛𝑛
𝑛𝑛
eşitsizliği vardır.

𝐴𝐴0 tekil olmayan simetrik bir M- matrisi olsun. Yeteri kadar büyük bir t değeri için 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝐴𝐴0
şeklinde oluşturulan M- matrisinin esas minörlerinin toplamları arasında
�|𝐴𝐴(1)| < �|𝐴𝐴(1,2)|
𝐶𝐶𝑛𝑛
2 𝐶𝐶𝑛𝑛
1
< ⋯ < �|𝐴𝐴(1,2, … , 𝑛𝑛)|.
𝐶𝐶𝑛𝑛
𝑛𝑛
eşitsizliği vardır.

Keywords

• Negatif olmayan matris
• Tekil olmayan simetrik matris
• Eşitsizlik

References

1. Ando T (1980). Inequalities for M-matrices. Linear and Multilinear Algebra 8(4): 291-316.
2. Berman A, Plemmons RJ (1979). Nonnegative matrices in the mathematical sciences. Academic Press, New York.
3. Chun-Wei H (1988). An inequality for M-matrices. Linear and Multilinear Algebra 23(3): 263–267.
4. Furuichi S, Lin M (2010). A matrix trace inequality and its application. Linear Algebra and its Applications 433: 1324–1328.
5. Gantmacher FR (1956). Aplications of the theory of matrices, New York.
6. Mirsky L (1955). An introduction to linear algebra. Oxford At The Clarendon Press.