ALANYAZINDA KULLANILAN FARKLI RASYONEL SAYI TANIMLARININ ANALİZİ

Öz

Alanyazında yapılan kapsamlı bir tarama sonucunda iki farklı rasyonel sayı tanımı olduğu görülmektedir: Tanım 1 (T1) Q = {a/b : a ve b tamsayı, b≠0} ve Tanım 2 (T2) Q = {a/b : a ve b tamsayı, b≠0, a ve b aralarında asal}. T1 ve T2 nin ifade ettiği Q (rasyonel sayı) kümelerinin aynı küme olmamaları önemli bir çelişkidir ve söz konusu çelişki bu çalışmanın motivasyon kaynağıdır. Bu makalenin amacı, eşdeğer olmayan T1 ve T2 tanımlarını, rasyonel sayıların inşaası ve özellikleri çerçevesinde, irdeleyerek hangi tanımın doğru olduğunu analiz etmek ve dolayısıyla yanlış olan tanımın kullanımının yaygınlaşmasını önlemektir. Bu araştırma nitel veri analizi yöntemlerinden doküman analizi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Veri toplama aracı olarak, T1 ve(ya) T2 tanımlarını içeren MEB Talim Terbiye Kurulu'ndan onaylı ders kitapları, ulusal-uluslararası üniversite matematik ve matematik eğitimi kitapları, ve akademik makalelerden oluşan (toplam 37 kitap ve 15 makale) dokümanlar kullanılmıştır. Verilerin analiziyle, tanımları birbirinden farklı kılan “aralarında asal olma” koşuluna hangi gerekçelerle ihtiyaç duyulduğu tespit edilmiştir. Elde edilen bulgular, gerekçelerine göre sınıflandırılmış ve herbir gerekçenin geçersiz olduğu matematik alan bilgisiyle detaylı bir şekilde örnekler ile açıklanmıştır. Sonuçta, T2' ye eklenen “aralarında asal olma” koşuluna gerek olmadığı ve dolayısıyla rasyonel sayıları tanımlamak için T1’in yeterli ve doğru bir tanım olduğu, T2 tanımı gibi çelişkiler oluşturmadığı savunulmuştur. Ayrıca, tanımlar, tanım olma ölçütlerine göre değerlendirildiğinde, T1’in ölçütlere uygun olduğu sonucuna varılmıştır.

Anahtar Kelimeler

• Matematiksel tanım
• rasyonel sayı
• kesir
• tanımda eşdeğerlilik
• denklik sınıfı
• Matematiksel tanım, rasyonel sayı, kesir, tanımda eşdeğerlilik, denklik sınıfı

Alanyazında Kullanılan Farklı Rasyonel Sayı Tanımlarının Analizi

Öz

Alanyazında yapılan kapsamlı bir tarama sonucunda iki farklı rasyonel sayı tanımı olduğu görülmektedir: Tanım 1 (T1) Q = {a/b : a ve b tamsayı, b≠0} ve Tanım 2 (T2) Q = {a/b : a ve b tamsayı, b≠0, a ve b aralarında asal}. T1 ve T2 nin ifade ettiği Q (rasyonel sayı) kümelerinin aynı küme olmamaları önemli bir çelişkidir ve söz konusu çelişki bu çalışmanın güdülenme (motivasyon) kaynağıdır. Bu makalenin amacı, eşdeğer olmayan T1 ve T2 tanımlarını, rasyonel sayıların inşaası ve özellikleri çerçevesinde, irdeleyerek hangi tanımın doğru olduğunu çözümlemek ve dolayısıyla yanlış olan tanımın kullanımının yaygınlaşmasını önlemektir. Bu araştırma nitel veri analizi yöntemlerinden doküman analizi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Veri toplama aracı olarak, T1 ve(ya) T2 tanımlarını içeren Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) Talim ve Terbiye Kurulu'ndan onaylı ders kitapları, ulusal-uluslararası üniversite matematik ve matematik eğitimi kitapları ve akademik makalelerden oluşan (37 kitap ve 15 makale) dokümanlar kullanılmıştır. Verilerin analiziyle, tanımları birbirinden farklı kılan “aralarında asal olma” koşuluna hangi gerekçelerle gereksinim duyulduğu saptanmıştır. Elde edilen bulgular, gerekçelerine göre sınıflandırılmış ve herbir gerekçenin geçersiz olduğu matematik alan bilgisiyle ayrıntılı biçimde örneklerle açıklanmıştır. Sonuçta, T2'ye eklenen “aralarında asal olma” koşuluna gerek olmadığı ve dolayısıyla rasyonel sayıları tanımlamak için T1’in yeterli ve doğru bir tanım olduğu, T2 tanımı gibi çelişkiler oluşturmadığı savunulmuştur. Ayrıca, tanımlar, tanım olma ölçütlerine göre değerlendirildiğinde, T1’in ölçütlere uygun olduğu sonucuna varılmıştır.

Anahtar Kelimeler

• Matematiksel tanım
• rasyonel sayı
• kesir
• tanımda eşdeğerlik
• aralarında asal

Kaynakça

1. Adams R.A. (2003). A Complete course: Calculus, 5th Edition. Addison-Wesley Longman.
2. Aktaş, D. Y. ve Cansız Aktaş, M. (2012). Öğrencilerin rasyonel sayılar kümesinin yoğunluğunu anlamaları. Eğitim ve Öğretim Araştırmaları Dergisi, 1 (1), 103-110.
3. Altıntaş, Ş. ve Keskin, C. (2019). Ortaokul ve imam hatip ortaokulu matematik 7 ders kitabı. Ankara: Ekoyay Yayıncılık.
4. Argün, Z., Arıkan, A., Bulut, S. ve Halıcıoğlu, S. (2020). Temel matematik kavramların künyesi. Ankara: Palme Yayınevi.
5. Aytar, H. (2018). Ortaöğretim matematik 9 ders kitabı. İstanbul: Eksen Yayıncılık.
6. Baki, A. (2018). Matematiği öğretme bilgisi. Ankara: Pegem Akademi Yayıncılık.
7. Balcı, M. (1999). Matematik analiz. Ankara: Balcı Yayınları.
8. Balcı, M. (2006). Genel matematik (3. baskı). Ankara: Balcı Yayınları.

9. Başkan, T., Bizim, O. ve Cangül, İ. N. (2006). Metrik uzaylar ve genel topolojiye giriş. Ankara: Nobel Yayınevi.
10. Baykul, Y. (2009). Ortaokulda matematik öğretimi. Ankara: Pegem Akademi Yayıncılık.
11. Behr, M., Khoury, H., Harel, G. Post, T. ve Lesh, R. (1997). Conceptual units analysis of preservice elementary school teachers' strategies on a rational-number-as-operator tasks. Journal for Research in Mathematics Education, 28 (1), 48-69.
12. Birgin, O. ve Gürbüz, R. (2009). İlköğretim II. kademe öğrencilerinin rasyonel sayılar konusundaki işlemsel ve kavramsal bilgi düzeylerinin incelenmesi. Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 22 (2), 529-550.
13. Bizim, O., Tekcan, A. ve Gezer, B. (2011). Genel matematik-I (3. baskı). Bursa: Dora Basım-Yayın Dağıtım Ltd. Şti.
14. Bogdan, R.C. ve Biklen, S. K. (2007). Qualitative research for education: An introduction to theories and methods. Boston: Pearson.
15. Cansız Aktaş, M., Apaydın, Z. ve Aktaş, D. Y. (2014). 9. sınıf öğrencilerinin rasyonel sayılar kümesinin yoğunluğunu anlama düzeyleri. Eğitim ve Bilim, 39 (171), 286-303.
16. Çakıroğlu, E. (2013). Matematik kavramlarının tanımlanması. İ. Ö. Zembat, M. F. Özmantar, E. Bingölbali, H. Şandır, A. Delice (Ed), Tanımları ve tarihsel gelişimleriyle matematiksel kavramlar kitabı içinde (s. 1-13). Ankara: Pegem Akademi.
17. Çelik, B. (2006). Temel matematik. Ankara: Nobel Yayınevi.
18. Çelik, B. (Ed). (2010). Temel matematik (5. baskı). Bursa,: Dora Yayınları.
19. Çelik, S. ve Çelik, S. A. (2010). Matematik analiz 1. İstanbul: Birsen Yayınevi.
20. Çevikbaş, M. ve Argün, Z. (2017). Geleceğin matematik öğretmenlerinin rasyonel ve irrasyonel sayı kavramları konusundaki bilgileri. Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 30(2), 551-581.
21. Çetin, H. (2020). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının kesir kavramına ilişkin tanımlarının incelenmesi. Eurasian Journal of Teacher Education. 1 (3), 172-185.
22. Çetiner Z., Kavcar M., Yıldız Y. (2001). Lise matematik 1 ders kitabı. (4.baskı). İstanbul: Devlet Kitapları.
23. Doruk, M. (2020). Matematik öğretmenlerinin rasyonel sayılar konusunda öğrencilerin yaşadıkları öğrenme güçlüklerine sundukları öneriler. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi, 18 (3), 153-168.
24. Ercire, Y. E., Narlı S. ve Aksoy, E. (2016). İrrasyonel sayı kümesinin rasyonel ve gerçek sayı kümeleriyle olan ilişkisine yönelik öğrenme güçlükleri. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 7(2), 417-439.
25. Erenkuş, M. A. ve Eren Savaşkan, D. (2018). Ortaokul ve imamhatip ortaokulu matematik 7. sınıf ders kitabı. Ankara: Koza Yayın.
26. Forster, N. (1994). The analysis of company documentation. C. Cassell ve G. Symon (Ed.) kitabı içinde, Qualitative methods in organizational research, a practical guide (s. 147-166). SAGE publication.
27. Esin, A. ve Ağlı, E. (1977). Genel matematik. Ankara: Kalite Matbaası.
28. Gündoğdu, M. (1999). Matematik lise 1 ders kitabı. İstanbul: Akdeniz Yayıncılık.
29. Gürbüz, R. & Birgin, O. (2008). Farklı öğrenim seviyesindeki öğrencilerin rasyonel sayıların farklı gösterim şekilleriyle işlem yapma becerilerinin karşılaştırılması. Pamukkale Eğitim Fakültesi Dergisi, 23, 85-95.
30. Hıdıroğlu, Ç. (2019). Sayılar ve işlemler: Doğal, tam ve rasyonel sayılar. K. Tarım ve G. Hacıömeroğlu (Ed), Matematik öğretiminin temelleri ortaokul kitabı içinde (s. 27-118). Ankara: Anı Yayıncılık.
31. Hiebert, J. ve Carpenter, T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning kitabı içinde (s.65-97). N.Y: Macmillan.
32. Hurst, M. ve Cordes, S. (2018). A systematic investigation of the link between rational number processing and algebra ability. British Journal of Psychology, 109, 99-117.
33. Kaçar, A. (2006). Temel matematik I-II. Ankara: Pegem Akademi.
34. Kadıoğlu, E. ve Kamalı, M. (2009). Genel matematik (4. Baskı). Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayınevi.
35. Karaçay T. (2009). Soyut matematiğe giriş (2. baskı). Ankara: Kuban Matbaacılık Yayıncılık.
36. Karaçay, T. ve Eş, H. (t.y.). Calculus. Ankara: Seçkin Yayıncılık. 11.11.2020 tarihinde http://mail.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/ders/math/calculus/kitap/02/02numbers.pdf adresinden erişildi.
37. Keskin Oğan, A. ve Öztürk, S. (2019). Ortaokul ve imam hatip ortaokulu matematik 7 ders kitabı. Ankara: Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları.
38. Koçak, Ş. (1989). Sayılar. R. Kaya (Ed), Genel matematik 1 kitabı içinde (s. 13-27). Eskişehir: TC Anadolu Üniversitesi Yayınları.
39. Macit, E. ve Nacar, S. (2019). İlköğretim matematik öğretmenliği öğrencilerinin rasyonel sayı ve kesir kavram imajları. İnönü Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 6 (11), 51-62.
40. Mariotti, M.A. ve Fishbein, E. (1997). Defining in classroom activities. Educational Studies in Mathematics, 34, 219-248.
41. Maviş, M., Gül, G., Solaklıoğlu, H., Tarku, H., Bulut, F. ve Gökşen, M. (2019). Ortaöğretim matematik 9 ders kitabı. Ankara: Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları.
42. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) (2007). Ortaöğretim matematik 9. sınıf ders kitabı (2. baskı). İstanbul: Devlet Kitapları.
43. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) (2013). Ortaöğretim matematik 9. sınıf ders kitabı 1.kitap. (1.baskı). Ankara: Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları.
44. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) (2018). Matematik dersiöğretim programı (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 8. Sınıflar). Ankara.
45. Moss, J. (2000). Deepening children’s understanding of rational numbers: A DevelopmentaI model and two experimental studies. (Doktora tezi, University of Toronto, Toronto) Erişim adresi https://tspace.library.utoronto.ca/bitstream/1807/13802/1/NQ49900.pdf
46. Musser, G. L., Burger, W. F., ve Peterson, B. E. (2008). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach. New York: Wiley.
47. Obersteiner, A., Van Hoof, J., Verschaffel, L. ve Van Dooren, W. (2016). Who can escape the natural number bias in rational number tasks? A study involving students and experts. British Journal of Psychology, 107, 537–555.
48. Olkun, S. ve Yeşildere, S. (2007). Temel matematik 1. Maya Akademi: Ankara.
49. Omoruan, B. E. ve Osadebe, B. U. (2020). Models connecting points on pupils’ achievement in rational numbers. Journal of Educational and Social Research, 10 (4), 1-10.
50. Pinto, M. ve Tall, D. (1996). Student Teachers’ Conceptions of the Rational Numbers. Published in Proceedings of PME 20 (Valencia), 4, 139–146.
51. Poincare, H. (2003). Science and method. N.Y: Dover Publications, Inc.
52. Sak, R., Şahin Sak, İ.T., Öneren Şendil, Ç. ve Nas, E. (2021). Bir araştırma yöntemi olarak doküman analizi. Kocaeli Üniversitesi Eğitim Dergisi, 4(1), 227-250.
53. Silverman R.A. (1985). Calculus with analytic geometry. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.
54. Stewart, J. (1998). Calculus: Concepts and contexts (3rd ed). Pacific Grove, CA: Brooks/Cole Publishing Company.
55. Sulak, H. (2007). Temel matematik. Ankara: Nobel Yayın Dağıtım.
56. Tall, D. ve Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics-With particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics,12, 151–169.
57. Thomas, G., Weir, M., ve Hass, J. (2010). Thomas’ Calculus. USA: Pearson.
58. Tuna, A. ve Biber, A. Ç. (2019). Kesirlerin öğretimi. K. Tarım ve G. Hacıömeroğlu (Ed), Matematik öğretiminin temelleri ilkokul kitabı içinde (s.141-165). Ankara: Anı Yayıncılık.
59. TÜBA (2002). Bilimsel araştırmada etik ve sorunları. Ankara: Türkiye Bilimler Akademesi Yayınları.
60. Türk Dil Kurumu. (2011). Büyük Türkçe sözlüğü. https://sozluk.gov.tr/ adresinden erişildi.
61. Uçak, A., Emir, E., Uçkun Kelek, F., Kutlu, G., Kahraman, S. (2019). Ortaöğretim fen lisesi matematik 9 ders kitabı. Ankara: MEB Yayınları.
62. Vamvakoussi, X. (2015). The development of rational number knowledge: Old topic, new insights. Learning and Instruction, 37, 50-55.
63. Van de Walle, J. A., Karp, K. S. ve Bay-Williams J. M. (2015). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (9th Edition). Boston: Pearson.
64. Van Dormolen, J., ve Zaslavsky, O. (2003). The many facets of a definition: The case of periodicity. Journal of Mathematical Behavior, 22(1), 91–106.
65. Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking kitabı içinde (s.65-81). N.Y: Kluwer Academic Publishers.
66. Wach, E. (2013). Learning about qualitative document analysis. IDS Practice Papers, August-2013, 1-10.
67. Winicki-Landman, G., ve Leikin, R. (2000). On equivalent and nonequivalent definitions: Part I. For the Learning of Mathematics, 20(1), 17–21.
68. Yanık, H. B. (2013). Rasyonel sayılar. İ. Ö Zembat, M. F. Özmantar, E. Bingölbali, H. Şandır, A. Delice (Ed), Tanımları ve tarihsel gelişimleriyle matematiksel kavramlar kitabı içinde (s. 95-110) Ankara: Pegem Akademi.
69. Yıldırım, A. ve Şimşek, H. (2008). Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri (6. Baskı). Ankara: Seçkin Yayıncılık.