A Different Counting Method for Subsets Generalized via Fibonacci Numbers

Öz

This study strives to express a different counting method by coding entities of subsets with “0” and “1” for questions such as “ when sequential consecutive objects are neither repeated nor the difference between them is r “ from math olympics. Moreover, it has been aimed to produce these results while deriving the equations in Fibonacci number types when dividing consecutive entities into subsets which meets the required conditions. Also, questions have been solved by the code method while studying the solution methods in the references. The method used was generalized theoretically by direct proof, the equation consisting of Fibonacci numbers was achieved to be used while dividing consecutive objects into sets in certain conditions. An algorithm that fits the rule was designed with the consideration for most question types by solving an example of the question type while generalizing the previous methods for the given question type. The designed algorithm has been expressed via sequential, logical steps and flowcharts. Thus, the current article aims to express the generalization in the Python programming language, as well as to calculate the results.

Anahtar Kelimeler

• Fibonacci numbers
• Counting with ‘Code Method’
• Modular arithmetic
• Algorithm

Fibonacci Sayılarıyla Genelleştirilmiş Alt Kümeler İçin Farklı Bir Sayma Yöntemi

Öz

Bu çalışmada matematik olimpiyatı sorularından “sıralı ardışık nesnelerin herhangi ikisinin art arda olmaması veya aralarındaki farkın r olmaması” olan ve sorunun çözümünde alt kümelere ait elemanlara “0” ve “1” ile kod verilerek farklı bir sayma yöntemi ifade edilmiştir. Bunun yanı sıra bu sayma yöntemiyle sıralı elemanların soru şartlarını sağlayan kümelere ayrılırken alt küme sayısının bulunmasında eşitliğin Fibonacci sayıları cinsinden yazılarak sonuca ulaşılması amaçlanmıştır. Ayrıca çalışmada kaynak taramasında yer alan çözüm yöntemleri de incelenerek kod yöntemi ile sorular çözülmüş ve çözümlerin karşılaştırması yapılmıştır. Kullanılan yöntem teorik olarak doğrudan ispat yöntemi ile genelleştirilerek sıralı ardışık nesnelerin belirli şartlar altında kümelere ayrılmasında kullanılmak için Fibonacci sayılarından oluşan eşitlik elde edilmiştir. Bu tür problemler için ifade edilen yöntemle genelleme yapılarak örnek bir problemin çözümü üzerinde kurallara uygun ve tüm ihtimallerin dikkate alındığı bir algoritma tasarlanmış, tasarlanan algoritma sıralı mantıksal adımlarla ve akış şeması ile ifade edilmiştir. Ayrıca genellemenin Python’da kodlama diliyle ifade ediler ek hesaplanması sağlanmıştır .

Anahtar Kelimeler

• Fibonacci sayıları
• 'Kod Yöntemi’ ile sayma
• modüler aritmetik
• Algoritma

Kaynakça

1. Nesin, A. (2003). “0-1 dizileri ve Fibonacci sayıları”. Matematik Dünyası Dergisi, 12(2).
2. Öztürk, F. (1995). Kombinatorik sayma problemleri. Ankara: A.Ü.F.F. Döner Sermaye İşletmesi Yayınları.
3. Bulut, F. (2017). “Pascal Üçgeni, Kombinasyon ve Tümevarım Kullanarak Fibonacci Dizisinin N. Elemanını Bulma”. El-Cezerî