Some Remarks on Positive Real Functions and Their Circuit Applications

Abstract

In this paper, a boundary version of the Schwarz lemma has been considered for driving point impedance functions at s=0 point of the imaginary axis. Accordingly, under Z(0)=0condition, the modulus of the derivative of the Z(s)  function has been considered from below. Here, Z(alfa), c1 and c2 coefficients of the Taylor expansion of the Z(s)=beta+c1(s-alfa)+...  function have been used in the obtained inequalities. The sharpness of these inequalities has also been proved.

Keywords

• Extremal function,Schwarz lemma,Positive real function,Taylor coefficient

Pozitif Reel Fonksiyonlar ve Devre Uygulamaları Üzerine Bazı Sonuçlar

Abstract

Bu çalışmada, Schwarz lemmasının bir sınır versiyonu, süren nokta empedans fonksiyonları için sanal eksen üzerindeki s=0 noktasında değerlendirilmiştir. Buna göre, Z(0)=0 koşulu altında, Z(s) fonksiyonunun türevinin modülü aşağıdan değerlendirilmiştir. Burada, elde edilen eşitsizliklerde, Z(s)=beta+c1(s-alfa)+....  fonksiyonunun Taylor açılımındaki ,  Z(alfa), c1 ve c2 katsayıları kullanılmıştır. Aynı zamanda, bu eşitsizliklerin keskinliği ispatlanmıştır.

Keywords

• Kesin fonksiyon,Schwarz lemması,Pozitif gerçel fonksiyon,Taylor katsayıları

References

1. Sharma A., Soni, T. 2017. A Review on Passive Network Synthesis Using Cauer Form, World Journal of Wireless Devices and Engineering, 1 (1): 39–46.
2. Bakshi M., Sule V., Baghini M. S. 2016. Stabilization Theory for Active Multi Port Networks, arXiv preprint (aXiv:1606.03194).
3. Reza F. 1962. A Bound for the Derivative of Positive Real Functions, SIAM Review, 4 (1): 40–42.
4. Richards P. I. 1947. A Special Class of Functions with Positive Real Part in a Half-Plane. Duke Mathematical Journal 1947, 14 (3): 777–786. DOI: 10.1215/S0012-7094-47-01461-0.
5. Osserman R. 2000. A Sharp Schwarz Inequality on the Boundary. Proceedings of the American Mathematical Society, 128 (12): 3513–3517.
6. Dubinin V. 2004. The Schwarz Inequality on the Boundary for Functions Regular in the Disk, Journal of Mathematical Sciences, 122 (6): 3623–3629.
7. Azeroğlu T. A., Örnek B. N. (2013). A Refined Schwarz Inequality on the Boundary, Complex Variables and Elliptic Equations, 58 (4): 571–577.
8. Örnek B. N. 2013. Sharpened Forms of the Schwarz Lemma on the Boundary, Bulletin of the Korean Mathematical Society, 50 (6): 2053–2059.