Cullen Sayılarının Jacobsthal Sayılarının Çarpımı Olarak İfadesi Üzerine

Öz

Bu çalışmada, Cullen sayıları ile Jacobsthal sayıları arasındaki aritmetik ilişki Diophantine denklemi üzerinden incelenmiştir. Burada n’inci Cullen sayısını, ise Jacobsthal dizisini göstermektedir. Jacobsthal sayılarının açık formülü ve büyüme özellikleri kullanılarak, söz konusu denklemin her çözümünün zorunlu olarak koşulunu sağladığı gösterilmiştir. Bu sonuç yardımıyla problem, ’nin tek ya da çift olmasına bağlı olarak veya denklemlerinin çözümüne indirgenmiştir.

Bu denklemler ayrıntılı olarak çözümlenmiş ve ’in bir 2 kuvveti olması durumunda sonsuz bir çözüm ailesinin elde edildiği, diğer durumda ise yalnızca önemsiz bir çözümün ortaya çıktığı ispatlanmıştır. Böylece, iki Jacobsthal sayısının çarpımı biçiminde yazılabilen Cullen sayılarının tam bir sınıflandırması verilmiştir. Bu çalışmada kullanılan yöntemler, lineer rekürans dizilerinin temel özelliklerine ve üstel büyüme karşılaştırmalarına dayanmakta olup, benzer Diophantine problemlerin incelenmesine de uygulanabilir niteliktedir.

Anahtar Kelimeler

• Cullen sayıları
• Jacobsthal sayıları
• Tamsayı dizileri
• Diophantine denklemler
• Lineer rekürans dizileri

A note on Cullen Numbers and Their Representations as Products of Jacobsthal Numbers

Öz

In this paper, we investigate the Diophantine equation where denotes the Cullen number and denotes the Jacobsthal sequence. Combining the explicit formula with quantitative growth bounds for the Jacobsthal numbers, we show that all solutions satisfy . As a consequence, the problem reduces to the equations or depending on the parity of .

We then solve these equations explicitly. In particular, we prove that an infinite family of solutions arises when is a power of 2, while the remaining case admits only a trivial solution. As a result, we obtain a complete classification of Cullen numbers that can be expressed as products of two Jacobsthal numbers. The methods employed in this work rely on elementary properties of linear recurrence sequences and exponential growth comparisons. These techniques may be adapted to study similar Diophantine equations involving other special number sequences defined by linear recurrences.

Anahtar Kelimeler

• Cullen numbers
• Jacobsthal numbers
• Integer sequences
• Diophantine equations
• Linear recurrence sequences

Kaynakça

1. Marques, I. D. (2014). On Generalized Cullen and Woodall Numbers That are Also Fibonacci Numbers. Journal of Integer Sequences, 17 (9), 14–9.
2. Koshy, T. (2019). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley & Sons, USA.
3. Cullen, J. (1905). Question 15897. Educational Times, 534, 1–2.
4. Berrizbeitia, P., Fernandes, J. G., González, M., Luca, F., & Janitzio, V. (2012). On Cullen numbers which are both Riesel and Sierpiński numbers. Journal of Number Theory, 132, 2836–2841.
5. Dubner, H. (1989). Generalized Cullen numbers. Journal of Recreational Mathematics, 21, 190–194.
6. Luca, F., & Stanica, P. (2004). Cullen numbers in binary recurrent sequences. In Applications of Fibonacci Numbers: Proceedings of The Tenth International Research Conference on Fibonacci Numbers and Their Applications, Kluwer Academic Publishers, 167-175.
7. Luca, F. (2003). On the greatest common divisor of two Cullen numbers. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 73, 253–270.
8. Luca, F., & Shparlinski, I. (2007). Pseudoprime Cullen and Woodall numbers. Colloquium Mathematicum, 107, 35–43.

9. Horadam, A. F. (1996). Jacobsthal Representation Numbers. The Fibonacci Quarterly, 34, 22–30.
10. Carlitz, L., Scoville, R., & Hoggatt Jr, V. E. (1972). Representations for a Special Sequence. The Fibonacci Quarterly, 10(5), 499–518.
11. Köken, F., & Bozkurt, D. (2008). On the Jacobsthal-Lucas Numbers by Matrix Method. International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 3(33), 1629–1633.