0 < p(x) < 1 Durumunda L^p(.)(Ω) nin Dual Uzayı

Yıl 2020, Cilt: 10 Sayı: 1, 82 - 88, 30.06.2020

Yasin Kaya

Öz

Bu araştırma makalesinde, 1≤ p(x)<∞ durumu için, değişken üslü Lebesgue uzaylarının kısa genel bir tanıtımını veriyoruz. Değişken üslü Lebesgue uzaylarının bazı uygulamalarından da söz ediyoruz. Sonra, esas olarak, 0<p(x)<1 durumu için, değişken üslü Lebesgue uzaylarının sürekli dual uzayı ile ilgileniyoruz. 0<p<1 olduğunda, klasik Lebesgue  Lp uzayında sıfır dışında sürekli lineer fonksiyonelin olmadığı bilinmektedir. Biz bu durumu değişken üslüye genelleştiriyoruz. p⁺ <1 olduğunda  L^p⁽˙⁾Ω(0<p(x)<1) üzerindeki tek sürekli lineer fonksiyonelin sıfır fonksiyoneli olduğunu ispatlıyoruz. Bununla birlikte,  p₊=1 olduğunda, sıfırdan farklı sürekli lineer fonksiyonelin olup olmadığını sorusu açık kalmıştır.

Anahtar Kelimeler

Değişken Üs, Lebesgue Uzayı, Lineer Fonksiyonel, Dual Uzay, Fonksiyon Dizisi

On the Dual Space of L^p(.)(Ω) with 0 < p(x) < 1

Öz

In this research paper, we give a brief overview of the variable exponent Lebesgue spaces for 1≤ p(x)<∞. We also mention some applications of variable exponent Lebesgue spaces. We then mainly deal with continuous dual space of variable exponent Lebesgue spaces for 0<p(x)<1 It is known that there exists no nonzero continuous linear functional on classical Lebesgue space Lp when 0<p<1 . We generalize this result to the variable exponent setting. We prove that if p⁺ <1, then the only continuous linear functional on  Lp⁽˙⁾Ω(0<p(x)<1) is the zero functional. However, it remains an open question whether there exists non zero continuous linear functional when p₊=1.

Anahtar Kelimeler

Variable Exponent, Lebesgue Space, Linear Functional, Dual Space, Sequence of Function

Kaynakça

• Acerbi,E., Mingione, G. (2002). Regularity results for stationary electro-rheological fluids, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 164(3), 213-259.
• Amaziane, B., Pankratov L., Piatnitski, A. (2009) . Nonlinear flow through double porosity media in variable exponent Sobolev spaces, Nonlinear Analysis: Real World Applications,10 (4), 2521–2530.
• Bruckner, A. M., Bruckner, J. B., & Thomson, B. S. (1997). Real analysis.
• Cruz-Uribe, D.V., Fiorenza, A.(2013). Variable Lebesgue spaces: Foundations and harmonic analysis, Springer Science & Business Media.
• Diening, L., Harjulehto, P., Hästö, P., & Ruzicka, M. (2011). Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Springer.
• Diening, L., & Růžička, M. (2003). Calderón-Zygmund operators on generalized Lebesgue spaces and problems related to fluid dynamics. J. reine angew. Math, 563, 197-220.
• Fan, X., & Zhao, D. (2001). On the spaces and Journal of Mathematical Analysis and Applications, 263(2), 424-446.
• Kováčik, O., Rákosník, J., (1991). On spaces and , Czechoslovak Mathematical Journal, 41(4), 592-618.
• Levine, S., Chen, Y., & Stanich, J. (2004). Image restoration via nonstandard diffusion. Duquesne University, Department of Mathematics and Computer Science Technical Report, 04-01.
• Orlicz, W. (1931). Über konjugierte exponentenfolgen. Studia Mathematica, 3(1), 200-211.
• Růžička, M. (2000). Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory. Springer Science & Business Media.