DÜZGÜNLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONEL ANA BİLEŞENLER ANALİZİ VE BİR UYGULAMA

Öz

Fonksiyonel Veri Analizi Yöntemleri, reel bir aralığın sonlu bir alt setinde değerlendirilen eğrilerden veya gözlenen fonksiyonlardan oluşan fonksiyonel verileri analiz etmek üzere geliştirilmiştir. Fonksiyonel Veri Analizi teknikleri, xi(t) (i = 1, 2, … , N) şeklinde belirtilen N tane reel fonksiyondan oluşan verilerdeki değişkenliğin veya bu fonksiyonların ilgilenilen dereceden türev fonksiyonlarının incelenerek yorumlanması için kullanılabilir. Pratikte bu fonksiyonlar sıklıkla ayrık noktalarda gözlenen verilere uygulanan düzgünleştirme proseslerinin bir sonucu olarak ortaya çıkarlar. Bu çalışmada da Splayn Düzgünleştirme Yöntemleri ele alınmıştır. Elde edilen fonksiyonların sayısı ve gözlem noktaları artttıkça bu fonksiyonları birlikte ele almak ve yorumlayabilmek gittikçe güçleşmektedir. Bunun sonucu olarak ortaya çıkan karmaşıklığı gidermek üzere kullanılan ve fonksiyonlar arasındaki değişimi sadece birkaç fonksiyon bileşenle açıklama gücüne sahip olan Fonksiyonel ve Düzgünleştirilmiş Fonksiyonel Ana Bileşenler Analizi bu çalışmanın kapsamını oluşturmaktadır. Bu çalışmada Fonksiyonel Veri Analizinin İMKB de bir uygulamasına değinilmektedir. Burada İMKB 30 endeksi farklı bir çok değişkenli istatistiksel bakış açısıyla incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Fonksiyonel Ana Bileşenler Analizi,Düzgünleştirme,Kübik Splayn,Pürüzlü Ceza Yaklaşımı.

REGULARIZED FUNCTIONAL PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS AND AN APPLICATION ON THE SHARE PRICES OF THE COMPANIES BELONGING TO THE ISE-30 INDEX

Öz

The objective of the Functional Data Analysis techniques is to study such type of data which consist of observed functions or curves evaluated at a finite subset of some real interval. Techniques in Functional Data Analysis can be used to study the variation in a random sample of real functions, xi(t), i=1, 2, …, N and their derivatives. In practice, these functions are often a consequence of a preliminary smoothing process applied to discrete data and in this work, Spline Smoothing Methods are used. As the number of functions and the number of observation points increases, it would be difficult to handle the functions altogether. In order to overcome this complexity, we utilize Functional and Regularized Functional Principal Component Analyses where a high percentage of total variation could be accounted for with only a few component functions. Finally, an application on the daily closing data for the share prices of the companies belonging to the ISE-30 index is also given.

Anahtar Kelimeler

• Functional Data Analysis, Smoothing, Cubic Spline, Roughness Penalty Approach.

Kaynakça

1. EUBANK, R.L. (1999), Nonparametric Regression and Spline Smoothing, USA:Marcel Dekker.
2. GREEN, P.J. ve B.W. SILVERMAN (1994), Nonparametric Regression and Generalized Linear Models: A Roughness Penalty Approach, London: Chapman & Hall.
3. JONES, M. C. ve J. A. RICE (1992), “Displaying The Important Features Of Large Collections Of Similar Curves”, The American Statistician, 46(2), 140-145.
4. KESER, İ. (2007), Çok Değişkenli İstatistiksel Boyut İndirgeme Yöntemi Olarak Düzgünleştirilmiş Fonksiyonel Ana Bileşenler Analizi Üzerine Bir Araştırma.,Yayınlanmamış Doktora Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, İzmir.
5. LEURGANS, S.E., MOYEED, R.A ve SİLVERMAN B.W. (1993), “Canonical Correlation Analysis when the Data are Curves”, Journal of the Royal Statistical Society: Series B., 55(3), 725-740.
6. MUSAYEV B. ve M. ALP (2000), Fonksiyonel Analiz, Kütahya : Balcı Yayınları.
7. RAMSAY, J.O. (1982), “When The Data Are Functions” Psychometrica, 47(4),379-396.
8. RAMSAY, J.O. ve B.W. SILVERMAN (1997), Functional Data Analysis, New York : Springer – Verlag.

9. RAMSAY, J. O. ve X. LI (1998), “Curve Registration”, Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 60(2), 351-363.
10. RAMSAY, J.O. ve B.W. SILVERMAN (2002), Applied Functional Data Analysis: Methods and Case Studies, New-York: Springer – Verlag.
11. RAMSAY J.O. ve SILVERMAN B.W. (2005), Functional Data Analysis. Second Edition, USA : Springer.
12. SILVERMAN, B.W. (1985), “Some Aspects of The Spline Smoothing Approach to Non-Parametric Regression Curve Fitting”, Journal of the Royal Statistical Society: Series B., 47(1), 1-52.
13. SILVERMAN, B.W. (1996), “Smoothed Functional Principal Component
14. Analysis By Choice Of Norm”, The Annals of Statistics, 24(1), 1-24.
15. SIMONOFF, J.S. (1996), Smoothing Methods in Statistics, New- York: Springer– Verlag.
16. ULBRICHT, J. (2004), Representing Functional Data as Smooth Functions, A
17. Master Thesis, Institute of Statistics and Econometrics, Humboldt University, Berlin.