Different Perspectives on the Gergonne Point in a Triangle and the Construction of New Properties

Öz

In a triangle, the point of intersection of the lines drawn from each vertex to the point where the incircle touches the opposite side is called the Gergonne Point. After the topic selection, literature review was done and previous scientific studies conducted in this field were examined. In the first step of studies, the distances between the Gergonne Point and the vertices of the triangle have been determined. When the first step is ending, it has been observed that a generalization can be made regarding the distance between the Gergonne Point and any other point in the plane. A claim about this topic has been proposed and proven. With the help of this claim, it has been observed that there is a relationship between the distances from the Gergonne Point to the vertices and the side lengths of the triangle and a formula has been derived concerning this matter. In the later parts of the study, right-angled triangles which are slightly more special triangles have been studied. In this part, new identities involving the Gergonne Point in right-angled triangles have been derived and lastly, an area formula for right triangles has been obtained by making use of the Gergonne Point. In presenting the findings, various trials and observations were generally conducted. Following this, several mathematical claims were put forward and proven. In the proving steps the direct method of proof was employed, and the conclusion was reached via a sequence of algorithmic steps.

Anahtar Kelimeler

• Gergonne Point
• Incircle
• Right-Angled Triangle

Üçgende Gergonne Noktası İle İlgili Farklı Bakış Açıları ve Yeni Özellikler Oluşturma

Öz

Bir üçgende, iç teğet çemberin kenarlara değme noktalarını karşı köşeler ile birleştiren doğruların kesişim noktasına Gergonne Noktası denir. Konu seçimi yapıldıktan sonra kaynak taraması yapılmış ve daha önce bu alanda hazırlanmış olan bilimsel çalışmalar incelenmiştir. Çalışmaların ilk aşamasında Gergonne Noktası’nın üçgenin köşelerine olan uzaklığı hesaplanmıştır. İlk aşama tamamlanırken Gergonne Noktası ile düzlemde bulunan herhangi başka bir nokta arasındaki uzaklığa dair bir genelleme yapılabileceği fark edilmiştir. Bu konu ile ilgili bir iddia ortaya atılmış ve iddia ispatlanmıştır. Bu iddiadan yardım alınarak Gergonne Noktası’nın köşelere uzaklığı ile üçgenin kenar uzunlukları arasında bir ilişki olduğu görülmüş ve bu durumla ilgili bir bağıntı elde edilmiştir. Çalışmanın ilerleyen kısımlarında biraz daha özel üçgenler olan dik üçgenlerle ilgilenilmiştir. Bu kısımda dik üçgenlerde Gergonne Noktası ile ilgili yeni bağıntılar ortaya çıkarılmış ve son olarak Gergonne Noktası’ndan yararlanılarak dik üçgenin alanını veren bir alan formülü elde edilmiştir. Bulgular ortaya konulurken genel olarak çeşitli denemeler ve gözlemler yapılmış ardından çeşitli iddialar ortaya atılmış ve ispatlanmıştır. İspat aşamalarında doğrudan ispat yöntemi kullanılmış ve algoritmik adımlarla sonuca gidilmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Gergonne Noktası
• İç Teğet Çember
• Dik Üçgen

Kaynakça

1. Akyar, H. ve Akyar, E. (2016). Üçgenin Gergonne Noktası Yardımıyla Üçgensel Fuzzy Sayıları Sıralama Yöntemi.
2. Hızarcı, S. (2004). Sunuş (Editör: S. Hızarcı, A. Kaplan, AS İpek ve C. Işık). Euclid Geometri ve Özel Öğretimi.
3. Jurkin, E. ve Simic Horvath, M. (2023). Curves Related to the Gergonne Point in an Isotropic Plane. Mathematics, 11(7), 1562.
4. Katić Žlepalo, M. ve Jurkin, E. (2018). Curves of centroids, Gergonne points and symmedian centers in triangle pencils in isotropic plane. Rad Hrvatske akademije znanosti i umjetnosti. Matematičke znanosti, (534= 22), 119-127.
5. Küpeli, S. (2013). 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri. İzmir. Altın Nokta Yayınevi.
6. Queiroz Filho, J. F. (2021). Gergonne Point of a Triangle and It’s Distance Any Point in the Plane.
7. Sastry, K. R. S. (2000). Heron triangles: an incenter perspective, Math. Mag. 73, 388 - 392.
8. Şahin, M. (2013). Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık Geometri-1. Ankara. Palme Yayıncılık.

9. Venema, G. A. (2006). Exploring Advanced Euclidean Geometry with Geometer's Sketchpad, Department of Mathematics and Statistics Calvin College, Grand Rapids, Michigan 49546 USA.