Unipotent and Unit-Regular Elements in Certain Subrings of M_2 (Z)

Öz

We presented a simple and direct way to construct a unipotent unit and clean but not nil-clean element in a ring. New examples of unipotent/unit-regular elements that are not nil-clean are given. We also study the product of two idempotents/unit-regulars which are unit-regular. The studies are exemplified in two subrings of M_2 (Z).

Anahtar Kelimeler

• Idempotent Element
• Nil-Clean Element
• Nilpotent Element
• Unit Element
• Unit-Regular Element

M_2 (Z) Halkasının Belirli Alt Halkalarındaki Tek Kuvvetli ve Terslenir Düzenli Elemanlar

Öz

Bir halkada, bir sıfır güçlü terslenir ve temiz ama nil-temiz olmayan bir eleman oluşturmanın basit ve doğrudan bir yolunu sunduk. Nil-temiz olmayan sıfır güçlü/terslenir-düzenli elemanların yeni örnekleri verilmiştir. Ayrıca, terslenir-düzenli olan iki eşkare/birim-düzenli elemanların çarpımları da incelenmiştir. M_2 (Z) halkasının iki alt halkasında çalışmalar örneklendirilmiştir.

Anahtar Kelimeler

• Idempotent Element
• Nil-Clean Element
• Nilpotent Element
• Unit Element
• Unit-Regular Element

Kaynakça

1. Andrica D., Călugăreanu G.G., (2014) A nil-clean 2×2 matrix over the integers which is not clean, J. Algebra, 13(6), 3115–3119. doi:10.1142/S0219498814500091
2. Călugăreanu, G., Lam, T.Y., (2015) Fine rings: A new class of simple rings, J. Algebra Appl., 15(9), 1650173-18 pages. doi:10.1142/S0219498816501735
3. Călugăreanu, G., (2015) UU rings, Carpathian J. Math., 31(2), 157-163. doi:10.37193/CJM.2015.02.02
4. Călugăreanu, G., Pob, H.F. On stable range one matrices, Preprint
5. Garcia, J.L., (1989) Properties of direct summands of modules, Commun. Algebra, 17, 73–92. doi: 10.1080/00927878908823714
6. Khurana, D., Lam, T.Y., (2004) Clean matrices and unit-regular matrices, J. Algebra, 280, 683-698. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.04.019
7. Nicholson W. K., (1977) Lifting idempotents and exchange rings, Trans. Amer. Math. Soc., 229, 269-278. doi:10.1090/S0002-9947-1977-0439876-2
8. Wu, Y., Tang, G., Deng, G., Zhou, Y., (2019) Nil-clean and unit-regular elements in certain subrings of M_2 (Z), Czechoslovak Math. J., 69(1), 197-205. doi:10.21136/CMJ.2018.0256-17