Matematiğin Mantıksal Temellerinin Krizi: D. Hilbert ve İspat Teorisi Etrafındaki Tamamlayıcı Tartışma

Öz

Matematiğin mantıksal temellerinin krizi, sonsuz kümelerin, sayıya benzeyen matematiksel bir nesne gibi öne sürülmesiyle ve Russell’ın paradokslarıyla birlikte ortaya çıkmıştır. Matematiğin temellerini ortaya koyma çabaları esnasında, bazı matematiksel formüllerin kendi aralarında çelişmesi matematiğin krizini yansıtan önemli bir problematiktir. Çalışmamızda matematiğin temellerini sağlamlaştırmaya yönelik Hilbert’in ispat teorisinin söz konusu sorunu nasıl çözdüğünü incelemekteyiz. Hilbert’in teorisi birçok eleştiriye konu olmakla birlikte, mantık ve matematik alanlarında verimli fikirlere zemin olmuştur. Çalışmamızın amacı, Hilbert’in ispat teorisini geliştirmek için hazır bulduğu uygun zeminlerin, teorinin etrafındaki tartışmalar aracılığı ile doğrudan veya dolaylı olarak öne sürülen eleştirilerin, revizyonlar, önerilerin, söz konusu teorinin yıkımına değil, onun daha açık kılınması, daha iyi tanımlanması, sınırlarının daha belirgin olması bakımından tamamlayıcı nitelikte olduklarını ve nihayet günümüzde de geçerli olan bu teoriye temel oluşturduklarını göstermektir. Araştırmada önce Hilbert’in ispat teorisini açıkladık ve Hilbert’in ispat teorisini ve çeşitli düşünür, mantıkçı ve matematikçinin konuyla ilgili görüşünü literatüre başvurarak inceledik ve nihayet bu amacı destekleyen çıktıların altını çizerek onların bütünlüklü bir yönü olduğunu öne çıkardık. Sonuç olarak Hilbert’in projesinin bir parçası olan ispat teorisinin, matematiksel doğruluk ile mantıksal çelişmezliği özdeşleştirdiğini görmekteyiz. Hilbert’in matematiği farklı düzeylere ayırarak formel katmanı koruyan ve sistemsel çelişmelere bir çözüm olabilecek bir metamatematiği ortaya çıkarttığını, ancak söz konusu teorisini sonlu zeminde sınırlandırmak zorunda kaldığını görmekteyiz. Hilbert tarafından önerilen ve başlatılan ispat teorisi; mantıkçılar, matematikçiler ve filozoflar tarafından yöneltilen eleştiriler ve katkılarla sınanarak birçok kez gündeme gelmiştir. Konu ile ilgili zengin tartışma zemininde yer alan farklı görüşlerin ortak yönü ve teorinin günümüze kadar ulaşmasının önemli bir nedeni, söz konusu eleştirilerin birbirlerini tamamlayıcı nitelikte olmasıdır.

Anahtar Kelimeler

• Mantık
• Matematiğin Temelleri
• Hilbert
• İspat Teorisi
• Doğruluk
• Çelişmezlik

The Crisis of the Logical Foundations of Mathematics: D. Hilbert and the Complementary Discussions Surrounding Proof Theory

Öz

The crisis in the logical foundations of mathematics arose with the emergence of infinite sets, considered to be mathematical objects similar to numbers, and with Russell’s paradoxes. As part of efforts to lay the foundations of mathematics, the contradiction between certain mathematical formulas is a major problem that reflects the crisis currently facing the discipline. In our study, we examine how Hilbert’s theory of proof, resolves this problem. Although Hilbert’s theory has been the subject of much criticism, it has given rise to fruitful ideas. The aim of our study is to show that the foundations Hilbert established for his theory of proof, as well as the criticisms, revisions and suggestions put forward directly or indirectly through the debates surrounding this theory, were not intended to undermine it, but to make it clearer, to define it better and to make its limits more precise and that they constitute the foundation of this theory, which indeed, remains valid today. In this study, we first explained Hilbert’s theory of proof, then examined Hilbert’s theory and the opinions of various thinkers, logicians, and mathematicians on the subject. We highlighted the results that support this objective, emphasizing their complementary aspect. In conclusion, we find that the theory of proof, which is part of Hilbert’s project, identifies mathematical truth with logical non-contradiction. We note that Hilbert developed a metamathematics that preserves the formal layer by separating mathematics into different levels and that he limited his theory to a finite framework. The theory of proof has been repeatedly challenged by critics and contributions. The common thread between the different points of view expressed in the rich debates on the subject and one of the important reasons why this theory has survived to this day, is that these criticisms complement each other.

Anahtar Kelimeler

• Logic
• Foundations of Mathematics
• Hilbert
• Proof Theory
• Truth
• Consistency

Kaynakça

1. Boniface, J. (2004). Hilbert et la notion d’existence en mathématiques. Vrin.
2. Çevik, A. (2025). Matematik Felsefesi ve Matematiksel Mantık (4 ed.). Nesin Yayıncılık.
3. Combès, M. (1971). Fondements des mathématiques. Presses Universitaires de France.
4. Gauthier, Y. (1997). Logique et fondements des mathématiques. Diderot Multimédia.
5. Gödel, K. (1986). On formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems I (1931). In S. Feferman, J. W. Dawson, S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay, & J. van Heijenoort (Eds.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936. Oxford University Press.
6. Gray, J. J. (2004). Le Défit de Hilbert: un siècle de mathématiques. Dunod.
7. Hilbert, D. (1972). Sur l’infini. Paris: Armand Colin.
8. Hilbert, D. (1992a). Les fondements logiques des mathématiques (1923). İçinde J. Largeault (Ed.), Intuitionnisme et théorie de la démonstration (ss. 131-144). Vrin.

9. Hilbert, D. (1992b). Nouvelle fondation des mathématiques. Première communication (1922). J. Largeault (Ed.), Intuitionnisme et théorie de la démonstration içinde (ss. 107-130). Paris: Vrin.
10. Hilbert, D. (1992c). Sur les fondements de la logique et de l’arithmétique. Payot Hilbert, D., & Bernays, P. (2001). Fondements des Mathématiques 1. L’Harmattan.
11. Hodel, R. E. (2013). An Introduction to mathematical Logic. Dover Publications.
12. Lascar, D. (2002). Calcul des séquents. A. Jacob & S. Auroux (Eds.), Encyclopédie philosophique universelle: Les notions philosophiques dictionnaire. Vol. 2. Philosophie occidentale: M-Z içinde (Cilt 2/ss. 2360-2361). Paris: Presses Universitaires de France.
13. Lowenthal, F. (2002). Syntaxe. In A. Jacob & S. Auroux (Eds.), Encyclopédie philosophique universelle: Les notions philosophiques dictionnaire. Vol. 2. Philosophie occidentale: M-Z (pp. 2/2530-2531). Paris: Presses Universitaires de France.
14. Mancosu, P., Galvan, S., & Zach, R. (2022). Introduction à la théorie de la démonstration. Vrin.
15. Pissavin, P. (2021). Gödel et Hilbert: L’impact des théorèmes de Gödel de 1931 et apparentés sur le programme de Hilbert. Hermann.
16. Poggiolesi, F., & Wagner, P. Précis de philosophie de la logique et des mathematiques: Vol. 1 Philosophie de la logique. Éditions de la Sorbonne.
17. Poincaré, H. (1905). Les mathématiques et la logique. Revue de Métaphysique et de Morale, 13(6), 815-835.
18. Prawitz, D. (2002). Théorie de la démonstration. İçinde A. Jacob & S. Auroux (Eds.), Encyclopédie philosophique universelle: Volume I Les notions philosophiques-Dictionnaire. Philosophie occidentale: A-L (Cilt 1/ss. 584-588). Presses Universitaires de France.
19. Russell, B. (1908). Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American Journal of Mathematics, 30(3), ss. 222-262.
20. Séguy-Duclot, A. (2019). Généalogie des Mathématiques. Spartacus-Idh.
21. Taştan, Ü. (2022). Gödel’in Tamamlanamazlik teoremleri bakimindan biçimsel dillerde ispatlanabilirlik-dogruluk ilişkisi. MetaZihin: Yapay Zeka ve Zihin Felsefesi Dergisi, 5(1), 41-66.