Kompakt Olmayan Yıldız Graf Üzerindeki Selfadjoint Olmayan Schrödinger Operatörünün Spektral Analizi

Yıl 2021, Cilt: 2 Sayı: 1, 1 - 12, 01.05.2021

Gökhan Mutlu

https://doi.org/10.5281/zenodo.4842587

Öz

Bu çalışmada 𝑛 kenarlı (𝑛<∞), kenarlarının her biri sonsuz uzunluğa sahip kompakt olmayan yıldız graf üzerine etki eden selfadjoint olmayan Schrödinger operatörünün spektral özellikleri incelenmiştir. Burada grafın merkez köşesi üzerinde standart ya da Neumann koşulları olarak bilinen köşe koşulları ele alınmıştır. Literatürde metrik graflar üzerine etki eden diferensiyel operatörlerin spektral analizi ile ilgili oldukça fazla çalışma bulunmaktadır. Bu graflara üzerlerine etki eden diferensiyel operatörlerle birlikte kuantum graflar adı verilmektedir. Kuantum grafların fen bilimleri ve mühendislikte çok sayıda uygulamaları bulunması nedeniyle bu alan matematiksel fiziğin son yıllarda oldukça aktif bir araştırma alanı haline gelmiştir. Kuantum graflarla ilgili çalışmalarda genellikle Laplace operatörleri 𝑓→−𝑓′′ dikkate alınmaktadır. Bununla birlikte Schrödinger operatörü 𝑓→−𝑓′′+𝑞(𝑥)𝑓 ele alınarak yapılan çalışmalar da bulunmaktadır. Ancak bu çalışmalarda ele alınan potansiyel 𝑞 reel değerlidir ve dolayısıyla uygun köşe koşullarıyla birlikte ortaya çıkan operatör selfadjointtir. Bu çalışmada ise 𝑞 potansiyeli kompleks değerli bir fonksiyondur. Dolayısıyla ortaya çıkan operatör selfadjoint değildir. Bu ise spektral analizin tamamen değişmesi anlamı taşır. Bu makalede kompakt olmayan yıldız graf üzerine etki eden kompleks değerli potansiyele sahip Schrödinger operatörünün özdeğerleri, spektral tekillikleri ve rezolvent operatörü elde edilmiştir.

Anahtar Kelimeler

Kuantum graf, Schrödinger operatörü, Selfadjoint olmayan operatörler, Özdeğerler, Rezolvent operatör

Kaynakça

• [1] Levitan, B. M. and Sargsyan, I. S. (1975). Introduction to Spectral Theory: Selfadjoint Ordinary Differential Operators, American Mathematical Society.
• [2] Naimark, M. A. (1968). Linear Differential Operators, II, New York: Ungar.
• [3] Guseinov, G. S. (2009). On the concept of spectral singularities. Pramana – Journal of Physics, 73(3), 587-603.
• [4] Mostafazadeh, A. (2015). Physics of Spectral Singularities. Geometric Methods in Physics. Trends in Mathematics. Cham: Birkhäuser.
• [5] Agranovic, Z. S. and Marchenko, V. A. (1965). The Inverse Problem of Scattering Theory, Gordon and Breach.
• [6] Aktosun, T. and Weder, R. (2020). Direct and Inverse Scattering for the Matrix Schrödinger Equation, Applied Mathematical Sciences, 203, Cham: Springer.
• [7] Aktosun, T., Klaus, M., and Weder, R. (2011). Small-energy analysis for the self-adjoint matrix Schrödinger equation on the half line. Journal of Mathematical Physics, 52(10), 1-24.
• [8] Olgun, M. and Coskun, C. (2010). Non-selfadjoint matrix Sturm-Liouville operators with spectral singularities. Applied Mathematics and Computation, 216, 2271-2275.
• [9] Arpat, E. K. and Mutlu, G. (2015). Spectral properties of Sturm-Liouville system with eigenvalue-dependent boundary conditions, International Journal of Mathematics, 26(10), 1550080-1550088.
• [10] Yokus, N. and Coskun, N. (2019) A note on the matrix Sturm-Liouville operators with principal functions. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 42(16), 5362-5370.
• [11] Gasymov, M. G., Zikov, V. V., and Levitan, B. M. (1967). Conditions for the negative spectrum of the Schrödinger equation operator to be discrete and finite. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 2, 813-817.
• [12] Bairamov, E., Arpat, E. K., and Mutlu, G. (2017). Spectral properties of non-selfadjoint Sturm-Liouville operator with operator coefficient. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 456(1), 293-306.
• [13] Mutlu, G. (2020). Associated functions of non-selfadjoint Sturm-Liouville operator with operator coefficient. TWMS Journal of Applied and Engineering Mathematics, 11(1), 113-121.
• [14] Mutlu, G. and Kır Arpat, E. (2020). Spectral properties of non-selfadjoint Sturm-Liouville operator equation on the real axis. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 49(5), 1686-1694.
• [15] Mutlu, G. (2020). Spectral properties of the second order difference equation with selfadjoint operator coefficients. Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A1 Mathematics and Statistics, 69(1), 88-96.
• [16] Mutlu, G. and Kır Arpat, E. (2020). Spectral analysis of non-selfadjoint second order difference equation with operator coefficient. Sakarya University Journal of Science, 24(3), 494-500.
• [17] Gerasimenko, N. I. and Pavlov, B. S. (1988). Scattering problems on noncompact graphs. Theoretical and Mathematical Physics, 74, 345-359.
• [18] Gerasimenko, N. I. (1988). Inverse scattering problem on a noncompact graph, Theoretical and Mathematical Physics, 75, 187-200.
• [19] Berkolaiko, G. and Kuchment, P. (2013). Introduction to Quantum Graphs (Mathematical Surveys and Monographs vol 186), Rhode Island: American Mathematical Society.
• [20] Kuchment, P. (2004). Quantum graphs: I. Some basic structures, Waves in Random Media, 14(1), 107-128.
• [21] Möller, M. and Pivovarchik, V. (2015). Spectral Theory of Operator Pencils, Hermite-Biehler Functions, and their Aplications, Operator Theory: Advances and Aplications vol 246, New York: Birkhauser, Cham.
• [22] Bairamov, E. and Kir, E. (2004). Spectral properties of a finite system of Sturm-Liouville differential operators. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 35(2), 249-256.
• [23] Kurasov, P. (2008) Schrödinger operators on graphs and geometry I: Essentially bounded potentials. Journal of Functional Analysis, 254(4), 934-953.
• [24] Boman, J., Kurasov, P., and Suhr, R. (2018). Schrödinger operators on graphs and geometry II. Spectral estimates for 𝐿1-potentials and an Ambartsumian Theorem. Integral Equations and Operator Theory, 90(3), 1-24.
• [25] Kurasov, P. and Suhr, R. (2018). Schrödinger operators on graphs and geometry. III. General vertex conditions and counterexamples. Journal of Mathematical Physics, 59(10), 102104, 21 pp.
• [26] Blashak, B. B. (1966). On the second-order differential operator on the whole axis with spectral singularities. Doklady Akademii Nauk Ukrainskoj SSR Serija A, 1, 38-41. (In Russian)
• [27] Bairamov, E. and Tunca, G. B. (1999). Discrete spectrum and principial functions of nonselfadjoint differential operator. Czechoslovak Mathematical Journal, 49(124), 689-700.