Primitive Pythagorean Triples With The Difference Of The Right Sides Is A Perfect Square

Öz

Let (x,y,z) be a primitive Pythagorean triples such that x^2+y^2=z^2 with gcd⁡(x,y,z)=1. In this paper, we search all primitive Pythagorean triples such that the difference of its right sides is a perfect square. We show that there are infinitely many such Pythagorean triples. In fact, we give the parametric equation of all sides of such Pythagorean triples depending on two parameters. To get the results, we use some elementary methods as well as generalized Pell equations and some classical Diophantine Equations from number theory.

Anahtar Kelimeler

• Pythagorean triples
• Diophantine equations
• Pell Equations

Dik Kenarlarının Farkı Bir Tamkare Olan İlkel Pisagor Üçlüleri

Öz

x^2+y^2=z^2 eşitliğini sağlayan ve obeb(x, y, z)=1 olan (x,y,z) tamsayı üçlüsü, ilkel Pisagor üçlüleri olarak adlandırılır. Bu çalışmada, dik kenarlarının farkı bir tam kare olan tüm ilkel Pisagor üçlülerini araştırıyoruz. Böyle üçlülerin sonsuz sayıda olduğunu gösteriyoruz. Ayrıca, bu özellikteki tüm Pisagor üçlülerini, iki parametreye bağlı olarak ifade eden parametrik formülleri sunuyoruz. Çalışmamızda sonuçlara ulaşmak için temel yöntemlerin yanı sıra, bazi klasik Diofantin Denklemler ve genelleştirilmiş Pell denklemlerinden yararlanıyoruz.

Anahtar Kelimeler

• Pisagor üçlüleri
• Diofant denklemler
• Pell denklemi

Kaynakça

1. 1. Agarwal, R. P. (2020). Pythagorean triples before and after Pythagoras. Computation, 8(3), 62. https://doi.org/10.3390/computation8030062
2. 2. Cohen, H., (2007). Number theory: Volume I: Tools and Diophantine equations. Springer.
3. 3. Conrad, K. (n.d.). Pell’s equation II. Retrieved from https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/pelleqn2.pdf
4. 4. Ribenboim, P. (1994). Catalan's conjecture: Are 8 and 9 the only consecutive powers? Academic Press.
5. 5. Wegener, D. P. (1975). Primitive Pythagorean triples with sum or difference of legs equal to a prime, Fibonacci Q. 13, 263-277.