İki Bölmeli Farmakokinetik Modellerin Analitik Çözümünde Klasik Yöntem ve Özdeğer–Özvektör Yaklaşımının Karşılaştırılması

Öz

Bu çalışmada, sabit katsayılı homojen lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan iki temel analitik yaklaşım—klasik karakteristik denklem yöntemi ve özdeğer–özvektör temelli matris çözüm yöntemi—iki bölmeli farmakokinetik bir model üzerinden karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. İlk aşamada sistem, klasik yöntemle tek bilinmeyenli ikinci mertebeden diferansiyel denkleme indirgenmiş ve karakteristik kökler üzerinden çözüm elde edilmiştir. Ardından sistem matris formunda ele alınarak özdeğerler ve özvektörler yardımıyla analitik çözüm oluşturulmuştur. Her iki yöntemle elde edilen çözümler karşılaştırılmış ve matematiksel olarak eşdeğer oldukları görülmüştür. Elde edilen bulgular, iki bölmeli farmakokinetik modellerde klasik yöntemin işlem basamaklarının takip edilmesinde sade bir yapı sunduğunu buna karşın özdeğer–özvektör yaklaşımının daha yüksek boyutlu sistemlerin çözümünde genelleştirilebilirlik açısından avantaj sağladığını göstermektedir. Çalışma, farmakokinetik modellerin çözümünde kullanılan matematiksel yöntemlerin karşılaştırmalı biçimde ele alınmasıyla teorik analiz ve modelleme uygulamaları arasında disiplinler arası bir bağlantı kurmaktadır.

Anahtar Kelimeler

• Farmakokinetik
• Lineer Diferansiyel Denklemler
• Özdeğer–Özvektör
• Klasik Yöntem
• İki Bölmeli Model

Comparison of the Classical Method and the Eigenvalue–Eigenvector Approach in the Analytical Solution of Two-Compartment Pharmacokinetic Models

Abstract

In this study, two fundamental analytical approaches used in solving linear homogeneous differential equation systems with constant coefficients—the classical characteristic equation method and the eigenvalue–eigenvector-based matrix solution method—are comparatively examined through a two-compartment pharmacokinetic model. First, the system was reduced to a single second-order differential equation using the classical method, and the solution was obtained through the characteristic roots. Subsequently, the system was represented in matrix form, and the analytical solution was derived through the use of eigenvalues and eigenvectors. A comparison of both approaches revealed that they yield mathematically equivalent solutions. The comparative analysis indicates that the classical method offers a simpler structure in terms of operational steps for two-compartment pharmacokinetic models, whereas the eigenvalue–eigenvector approach provides a generalizable framework for solving higher-dimensional systems. Overall, the study highlights an interdisciplinary connection between theoretical analysis and modeling applications by comparatively evaluating mathematical methods used in pharmacokinetic systems.

Keywords

• Pharmacokinetics
• Linear Differential Equations
• Eigenvalues–Eigenvectors
• Classical Method
• Two-Compartment Model

Kaynakça

1. Dey, S. (2021). A mathematical review on open two-compartment pharmacokinetic models. Asian Journal of Mathematical Sciences, 5(4), 1–6. https://doi.org/10.22377/ajms.v5i4.396
2. Keramati, S., Ghandehari, M., & Ghandehari, L. (2019). Two-compartmental pharmacokinetics modeling. East African Scholars Journal of Medical Sciences, 2(1), 1–4. https://doi.org/10.36349/easms.2019.v02i01.001
3. Kolman, B., & Hill, D. R. (2001). Elementary linear algebra (9th ed.). Prentice Hall.
4. Moler, C., & Van Loan, C. (2003). Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty–five years later. SIAM Review, 45(1), 3–49.
5. Nelson, O. (1978). Pharmacokinetics modeling (Master’s thesis). University of Arizona.
6. Pişkin, E. (2018). Teori ve çözümlü problemlerle diferansiyel denklemler (4th ed.). Seçkin Publishing.
7. Świętaszczyk, C., & Jødal, L. (2024). Polynomial discriminant analysis in compartment models. Mathematical Biosciences, 369, 109–122.
8. Upton, R. N. (2004). The two-compartment recirculatory pharmacokinetic model: An introduction to recirculatory pharmacokinetic concepts. British Journal of Anaesthesia, 92(4), 475–484.

9. Van Ganzewinkel, C., Derijks, L., Anand, K. J. S., van Lingen, R. A., Neef, C., Kramer, B. W., & Andriessen, P. (2014). Multiple intravenous doses of paracetamol result in a predictable pharmacokinetic profile in very preterm infants. Acta Paediatrica, 103(6), 612–617.
10. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2009). Differential equations with boundary-value problems (7th ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning.