On Sum of Fuzzy Topological Spaces

Abstract

In classical logic, which is purely a mathematical modeling based on binary evaluation, there are only two cases for each value, the first case where the symbol 1 is given and means true, and the second case where the symbol 0 is given and means false. But the truth is broader than that and may not depend solely on two states 0 and 1. Therefore, a new logic was needed that provides the general framework to solve the problem of representing approximate or nonspecific information. This logic, called fuzzy logic, was first put forward by Iranian scientist Lutfi Zadeh in 1965. Fuzzy logic is based on deduction through idioms such as hot, cold, warm, less, more, and indefinite expressions. Throughout the study, it is concluded that fuzzy logic is an extension of classical logic. Classical logic is a special case of fuzzy logic, when the membership degree is {0,1} set, Fuzzy logic has great importance not only in set theory, but also in artificial intelligence, advanced electronic devices, industrial controllers and even in our daily life. In this study, initially fuzzy set, fuzzy set types and important algebraic operations related to them, introducing fuzzy topological spaces and examining their properties are given. Then, on the sums of fuzzy topological spaces, expressions such as open sets, covered sets, interior, closure, base, neighborhoods and continuity are defined. Some results obtained for these defined topological sums are mentioned. After this study, the reader was informed about the research area planned to be examined under the heading of conclusions.

Keywords

• Fuzzy sets
• fuzzy topology
• topological sum.

Bulanık Topolojik Uzayların Toplamları Üzerine

Abstract

Tamamen ikili değerlendirmeye dayanan bir matematiksel modelleme olan klasik mantıkta her değer için sadece iki durum vardır, 1 sembolünün verildiği ve doğru anlamına gelen ilk durum ile 0 sembolünün verildiği ve yanlış anlamına gelen ikinci durum. Ancak gerçek bundan daha geniştir ve yalnızca 0 ve 1 olmak üzere iki duruma bağlı olmayabilir. Bu nedenle, yaklaşık veya spesifik olmayan bilgileri temsil etme problemini çözmek için genel çerçeveyi sağlayan yeni bir mantığa ihtiyaç duyulmuştur. Bulanık mantık adı verilen bu mantık ilk olarak 1965 yılında İranlı bilim adamı Lutfi Zadeh, tarafından ortaya atılmıştır. Bulanık mantık, sıcak, soğuk, ılık, az, çok, gibi deyimler ve belirsiz ifadeler aracılığıyla tümdengelim üzerine kuruludur. Çalışma boyunca, bulanık mantığın klasik mantığın bir genişlemesi olduğu sonucuna varılmıştır. Klasik mantık, üyelik derecesi {0,1} kümesi olduğunda, bulanık mantığın özel bir durumudur. Bulanık mantık sadece kümeler teorisinde değil, yapay zekâda, gelişmiş elektronik cihazlarda, endüstriyel kontrolörlerde ve hatta günlük hayatımızda büyük öneme sahiptir. Bu çalışmada başlangıç olarak bulanık küme, bulanık küme türleri ve bunlarla ilgili önemli cebirsel işlemler ile bulanık topolojik uzayların tanıtılması ve özelliklerinin incelenmesi konu başlıklarına yer verilmiştir. Sonrasında bulanık topolojik uzayların toplamları üzerinde, açık kümeler, kaplı kümeler, iç, kapanış, taban, komşuluklar ve süreklilik gibi ifadeler tanımlanmıştır. Tanımlanan bu topolojik toplamlar için elde edilen bazı sonuçlardan bahsedilmiştir. Bu çalışmadan sonra incelenmesi planlanan araştırma alanı hakkında okuyucu sonuçlar başlığı altında bilgilendirilmiştir.

Keywords

• Bulanık kümeler
• bulanık topoloji
• topolojik toplam

References

1. Al-shami, T.M., Ljubiša D. R. Koˇcinac ve Baravan A. Asaad (2020), Sum of soft topological spaces. Mathematics, 8, 990.
2. Al-shami, T.M. ve Mhemdi, A. (2023) Generalized frame for orthopair fuzzy sets: (m,n)-Fuzzy Sets and their applications to multi-criteria decision-making methods. Information, 14, 56.
3. Atay, A. (2010) Topolojik Toplamlar ve Bazı Sonuçlar (yüksek lisans tezi). Diyabakır: Dicle Üniversitesi, Fen Bilimler Enistitüsü.
4. Atay, A. (2023) Disjoint union of fuzzy soft topological spaces. AIMS Mathematics, 8(5), 10547–10557.
5. Chang, C. (1968) Fuzzy topological spaces. Journal of Mathematical Analysis and ‎Application, 24(1), 182-190.
6. Dobois, D. ve Prade, H. (1980) Fuzzy sets and dystems:Theory and Applications. Boston: Academic Press.
7. Kerre, E., Mshhour, A. ve Ghanim, M. (1984) Separation Axioms, Subspaces and Sums in ‎Fuzzy Topology‏. Journal of Mathematical Analaysis and Applications, 102(1), 189-202.
8. Lowen, P. (1976) Fuzzy Topological Spaces and Fuzzy Compactness. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 56(3), 621-633.

9. Ming, L. ve Ming, P. (1980) Fuzzy Topology. I. Neighborhood Structure of a ‎Fuzzy Point and Moore-Smith Convergence. Journal of Mathematical ve ‎Applications, 76(2), 571-599.
10. Nasrin, R. ve Zahan, I. (2021) An Introduction to Fuzzy Topological Spaces. Advances in Pure Mathematics, 11(5), 483-501.
11. Palaniappan, N. (2002), Fuzzy Topology, Alpha Scie. Int. Lyd., 179 sf.
12. Shostak, A. P. (1996), Basıc Structures of Fuzzy Topology, J. Math. Sci. 78(6), 662-701.
13. Shostak, A. P. (1989), “Two decades of fuzzy topology: basic ideas, notions, and results”, Uspekhi Mat. Nauk, 44:6(270), 99–147; Russian Math. Surveys, 44:6, 125–186.
14. Ying-ming, L. ve Mao-kang, L. (1998), Fuzzy Topology, World Sci., Sichuan Union University, China, 353 sf.
15. Zadeh, L. (1965) Fuzzy sets. Information and control, 8, 338-353.