The influence of the Samarkand school of astronomy and mathematics on the Ottomans: Ulugh Beg’s approximate method of calculating sinus 1°

Öz

In his Zij, Ulugh Beg (1393-1449) pointed to the importance of calculating the exact value of sin 1q which is needed for the calculation of the sine and tangent tables. He says that nobody before him has given its exact value and that he has written a treatise accounting for his calculation of sinus 1q and the above mentioned tables. The work Ulugh Beg referred is the Treatise for determining the sine of 1q by Ghiyāth al-Dīn al-Kāshī’s method.

In the present article, we investigate how Ulugh Beg derived sin 1q and compared his result with the one given by Ptolemeus. Ulugh Beg derived sin 1q value from the geometrically known cords of the (1 1/16)q, (1 + 2/16)q and (1 4/16)q = 45′ angles. The approximate value he calculated is sin 1q # 1P 2′ 49″ 43(3) 13(4) 5(5) 30(6) # 0,0174524 } expressed in sexagesimal system. This value is much better than the Ptolemeus’ value, who used two times the half formulas for sin 3q and then took the average value of sin (3/2)q = 0,01745130 and sin (3/4)q = 0,01745279. Far in advance of his time, the recursive method used by Kadızade gave in few steps the exact value for sin 1q, a method which can be evaluated as a very modern approach. 

Anahtar Kelimeler

• Ulugh Beg,zij,sinus 1°,astronomical tables,geometrical method,angle trisection

Semerkand Astronomi ve Matematik Ekolünün Osmanlı’ya Etkisi: Uluğ Bey’in Sinüs 1°yi Yaklaşık Belirleme Yöntemi

Öz

Uluğ Bey (1393-1449), Zic’inde, sinüs ve gölge (tanjant) cetvellerinin bulunuşunu sinüs 1qnin bulunuşuna dayandırır ve kendi dönemine kadar kimsenin sin 1qnin tam değerini vermeyi başaramadığını ifade eder. Ayrıca çok önemli bulduğu sinüs değerini çok hassas bir şekilde nasıl belirlediğini ve söz konusu çizelgeyi nasıl oluşturduğunu başka bir eserinde anlattığını söyler. Bu eser kütüphanelerimizde yazmaları mevcut olan Uluğ Bey’in 1qnin sinüsünü elKâşî’nin yöntemiyle belirleme risalesi’dir. Bu çalışmamızda, Uluğ Bey’in sin 1qyi nasıl elde ettiği konusu araştırılmış ve verdiği değer, daha önce Ptolemeus’un (Batlamyus) verdiği değerle karşılaştırılmıştır. Uluğ Bey sin 1q’yi, bilinen yaylardan geometrik yöntemlerle elde ettiği (1 1/16)q, (1 + 2/16)q ve (1 4/16)q = 45′ açılarına ilişkin yaylardan yaklaşık türetir. Altmış tabanlı sayı sisteminde sin 1q # 1P 2′ 49″ 43(3) 13(4) 5(5) 30(6) # 0,0174524 } yaklaşık değerini bulur. Bu değer Batlamyus’un 3q’nin sinüsünü bulduktan sonra yarı formüllerden yararlanarak elde ettiği sin (3/2)q = 0,01745130 ve sin (3/4)q = 0,01745279 değerlerinin ortalamasından çok daha doğrudur. Buna karşın aynı dönemde geliştirilen Kadızade’nin özyinelemeli yöntemi, birkaç adımda sin 1q için, öngörülen doğruluğa ulaştığı için çağının ötesinde modern bir yaklaşım sergiler.

Anahtar Kelimeler

• Uluğ Bey,zic,sinüs 1°,geometrik yöntem,bir açının üçe bölünmesi

Kaynakça

1. -