Soft set theory constitutes a mathematically rigorous and algebraically expansive framework for representing and analyzing systems permeated by epistemic uncertainty, vagueness, and parameter-contingent variability—hallmarks of foundational problems in decision sciences, engineering, economics, and information theory. Central to this formalism is a comprehensive repertoire of algebraic operations and binary product constructions, which together endow the universe of soft sets with a nuanced internal algebraic topology capable of encoding complex interdependencies among parameters with high structural fidelity. Within this algebraic landscape, we formally introduce and investigate a novel binary operation—termed the soft intersection–plus product—defined on soft sets whose parameter sets are structured as groups. The operation is rigorously developed within an axiomatic framework that guarantees compatibility with generalized notions of soft subsethood and soft equality, thereby maintaining the algebraic integrity of the induced structure. A meticulous algebraic analysis is carried out to establish key structural attributes of the operation, including closure, associativity, commutativity, idempotency, distributivity over other sot set operataions, as well as its behavior with respect to identity and absorbing elements, and its interaction with the null and absolute soft sets. Moreover, the proposed operation is systematically compared with pre-existing soft binary operations within a stratified taxonomy of soft subset classifications, yielding deeper theoretical insights into their comparative expressive strength and algebraic integrability. Our findings reveal that the soft intersection–plus product not only conforms to the algebraic constraints imposed by group-parameterized domains, but also induces a well-behaved and internally coherent algebraic system over the soft set space. Two principal contributions emerge from this investigation: (i) the integration of the proposed product enhances the internal algebraic cohesion of soft set theory by embedding it within a formally consistent, axiom-preserving framework; and (ii) it serves as a foundational component for the development of a generalized soft group theory, wherein soft sets indexed by group-structured parameter domains emulate classical group-theoretic behavior via newly defined soft operations. By addressing the critical need for algebraic constructions grounded in both semantic relevance and structural rigor, this study represents a substantial advance in the algebraic consolidation and theoretical generalization of soft set theory. Beyond its abstract significance, the proposed operation offers a robust mathematical basis for the design of soft computational models governed by algebraic principles, with prospective applications in multi-criteria decision-making, algebraic classification frameworks, and uncertainty-aware data analysis across group-parameterized semantic environments. As such, the formal apparatus developed herein not only expands the theoretical frontier of soft algebra but also affirms its relevance in both pure mathematics and applied analytical disciplines.
Soft sets Soft subsets Soft equlities Soft intersection-plus product
Esnek küme teorisi, epistemolojik belirsizlik, muğlaklık ve parametreye bağlı değişkenliğin egemen olduğu sistemleri temsil etmek ve analiz etmek amacıyla geliştirilmiş, matematiksel açıdan titiz ve cebirsel olarak geniş kapsamlı bir kuramsal çerçeve sunar. Bu özellikler, karar bilimleri, mühendislik, ekonomi ve bilgi kuramı gibi temel disiplinlerdeki sorunların karakteristik nitelikleridir. Bu biçimsel yapı içerisinde, çok çeşitli cebirsel işlemler ve ikili çarpım türünden yapılar yer almakta olup, bu yapılar birlikte esnek kümeler evrenine karmaşık parametreler arası bağıntıları yüksek yapısal tutarlılıkla kodlayabilen ince ayrıntılı bir iç cebirsel topoloji kazandırmaktadır. Bu cebirsel bağlamda, parametre kümeleri grup yapısına sahip esnek kümeler üzerinde tanımlanan yeni bir ikili işlem olan esnek kesişim–artı çarpımı biçimsel olarak tanıtılmakta ve detaylı biçimde incelenmektedir. Söz konusu işlem, esnek altkümelik ve esnek eşitlik gibi genelleştirilmiş kavramlarla uyumluluğu garanti altına alan aksiyomatik bir çerçeve içerisinde titizlikle geliştirilmiş olup, oluşturduğu yapının cebirsel bütünlüğünü muhafaza etmektedir. Yapılan kapsamlı cebirsel çözümleme, bu işlemin temel yapısal özelliklerini ortaya koymakta; kapalılık, birleşmelilik, değişmeli olma, idempotentlik, diğer esnek küme işlemleri üzerine dağılım özellikleri ile birlikte birim ve yutan elemanlara göre davranışı ve boş ve evrensel esnek kümelerle etkileşimi gibi nitelikler ayrıntılı biçimde değerlendirilmiştir. Ayrıca, önerilen işlem, esnek altkümelik sınıflandırmalarının tabakalı bir taksonomisi kapsamında mevcut ikili esnek işlemlerle sistematik olarak karşılaştırılmış; bu bağlamda ifade gücü ve cebirsel bütünleşebilirlik açısından derinlemesine kuramsal bulgular elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, esnek kesişim–artı çarpımının yalnızca grup-parametreli tanım kümelerinin cebirsel kısıtlarına uyumlu olmakla kalmayıp, aynı zamanda esnek küme uzayı üzerinde tutarlı ve iyi tanımlanmış bir cebirsel sistem oluşturduğunu ortaya koymaktadır. Bu çalışmadan iki temel katkı ön plana çıkmaktadır: (i) Önerilen işlemin entegrasyonu, esnek küme teorisinin içsel cebirsel bütünlüğünü artırarak onu tutarlı ve aksiyomlara dayalı bir yapı içerisinde temellendirir; (ii) grup yapısına sahip parametre kümeleri tarafından indekslenen esnek kümelerin klasik grup kuramı davranışlarını yeni tanımlanan esnek işlemler aracılığıyla taklit ettiği genelleştirilmiş bir esnek grup teorisinin temellerini oluşturmaktadır. Anlamsal uygunluk ve yapısal kesinlik temelinde geliştirilmiş cebirsel yapılara duyulan kritik ihtiyacı karşılayan bu çalışma, esnek küme teorisinin cebirsel olarak sağlamlaştırılması ve kuramsal olarak genelleştirilmesi açısından önemli bir ilerleme teşkil etmektedir. Soyut düzeydeki katkılarının ötesinde, önerilen işlem; çok kriterli karar verme, cebirsel sınıflandırma sistemleri ve grup-parametreli anlamsal ortamlarda belirsizlik odaklı veri analizi gibi alanlarda cebirsel ilkelere dayalı esnek hesaplama modellerinin tasarımı için sağlam bir matematiksel temel sunmaktadır. Bu yönüyle, burada geliştirilen biçimsel yapı yalnızca esnek cebir kuramının kuramsal ufkunu genişletmekle kalmayıp, aynı zamanda pür matematik ile uygulamalı çözümleme disiplinleri açısından da güncel ve anlamlı bir bağlam sunmaktadır.
Esnek kümeler Esnek alt kümeler Esnek eşitlikler Esnek kesişişm-artı çarpımı
Birincil Dil | İngilizce |
---|---|
Konular | Temel Matematik (Diğer) |
Bölüm | Research Articles |
Yazarlar | |
Erken Görünüm Tarihi | 11 Eylül 2025 |
Yayımlanma Tarihi | 1 Ekim 2025 |
Gönderilme Tarihi | 22 Haziran 2025 |
Kabul Tarihi | 19 Ağustos 2025 |
Yayımlandığı Sayı | Yıl 2025 Cilt: 8 Sayı: 3 |